程序员的数学I

递归——自己定义自己

GNU是什么的缩写?
“GNU is Not Unix”
这里面的GNU又是什么的缩写?
“GNU is Not Unix”

递归是一种奇妙的思考方法,它“使用自己来定义自己”

汉诺塔

  • 思考:有三根细圆柱(A,B,C),A柱上套着6个圆盘。这些圆盘大小各异,按从大到小的顺序自下而上摆放,现在要把A柱上的6个圆盘全部移动到B上,并且在移动的时候遵守下述规则:
    1. 一次只能移动柱子最上端的一个圆盘
    2. 小圆盘上不能放大圆盘

将1个圆盘从一根柱子移动到另一根柱子,算移动1次,那么将6个圆盘全部从A移动到B最少需要移动几次呢?

汉诺塔

解题思路:

  1. 先尝试解决3个圆盘的问题,需要7次
  2. 仔细思考,无论如何,想移走k层的圆盘,都必须把k-1层的圆盘全部移走
  3. 因为ABC三个柱子在不同的场景下会发挥不同的职能,我们假设x,y,z三个柱子,x为起点,y为目标,z为中转
  4. 解出n层塔的步骤,即是利用z将n个圆盘从x移动到y
  5. 当n=0时,不用做任何动作
  6. 当n>0时,
  • 首先,将n-1个圆盘从x,经由y中转,移动到z(解出n-1层)
  • 然后,将1个圆盘从x移动到y
  • 最后,将n-1个圆盘从z柱,经过x中转,移动到y(解出n-1层)
  1. 从以上步骤得出结论,为了解出n层的汉诺塔,我们要使用n-1层的解法,我们将解出“n层汉诺塔”所需的最少移动步骤表示为:
    H(n),例如,移动0个圆盘的次数为0,那么:
    H(0)=0,H(1)=1
    H(n)=H(n-1)+1+H(n-1)
    n的解法数=n-1的解法数+移动最大的圆盘的次数+n-1的解法数
  • 我们将这种H(n)和H(n-1)的关系式称为递推公式(recursion relation, recurrence)

H(0)=0
H(1)=0+1+0=1
H(2)=1+1+1=3
H(3)=3+1+3=7
H(4)=7+1+7=15
H(5)=15+1+15=31
H(6)=31+1+31=63
H(n)=2^n-1推导式可以被数学归纳法证明

编程部分(略)

  • 关键步骤
    1. 找出递归结构
    2. 建立地推公式

再谈阶乘

  • n! = n x (n-1)! ←发现递归结构
  • 0!=1的原因,就是为了完成递归定义
  • 阶乘的递归定义和数学归纳法比较类似,n=0时相当于数学归纳法的步骤1(基底),n>=1时相当于步骤2(归纳)。若用多米诺骨牌来打比方,“正确地定义0!”就相当于“确保推倒第1张多米诺骨牌”。

递归和归纳

  • 递归和归纳本子上是相同的,都是将复杂问题简化。
  • 递归和归纳,只是方向上不同。“从一般性前提推出个别性结论”是递归,“从个别性前提推出一般性结论”是归纳。

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