算法小测试

算法小测试

实验室大师兄开了个小灶,讲了一些简单的算法题给我们开拓一下思路。现在把这次讲到的几个测试题记录在这里,一来是再过一遍加深印象,二来以后也可以看看。

测试题1--判断和为s的元素的存在性

题目:已知数组a[0],a[1],...,a[i],a[i+1],...,a[n]以及一个整数s;其中n范围为10^5,a[i]的范围为10^9,判断数组a[n]中是否存在a[i]a[j],使得s=a[i]+a[j],其中i可以等于j

我的思路:最快能想到的自然是枚举法,就是将数组a[n]中的每两个元素都相加看能不能等于s,但是这个方法很蠢,时间复杂度是o(n^2)。
那有没有更好的方法?当然有,其实这种从数组中找数的题如果一遍遍历无法解决问题,那么就要先进行一下排序处理了,虽然排序过程会增加复杂度,但是排序后就可以利用元素之间的相关信息解题,事半功倍。
所以先对数字进行排序,方法很多,快排来做就是o(nlog(n))。
堆排序后的数组从两头开始遍历,i=0开始,j=n开始,此时a[i]最小,a[j]最大。然后按照下面的规则进行移动:

<pre>
while(i<=j){
if a[i]+a[j]==s
return true;
else if a[i]+a[j]<s
i++;
else if a[i]+a[j]>s
j--;
}
return false;
</pre>

这种方法对于排序后的数组来说得到结果的时间复杂度是o(n);再考虑前面排序的过程,整体的复杂度就是max(o(nlog(n)),o(n))=o(nlog(n))。

要理解这种方法其实可以把a[i]+a[j]想象为一个二维矩阵,纵轴和横轴都是a[0]...a[n],形状如:
<pre>
--------------------------------->
| a[0], a[1], a[2],..., a[n]
| a[0] - - - -
| a[1] - - - -
| ...
| a[n] - - - -
/
</pre>

矩阵中元素的特点是随着箭头的方向,矩阵中元素所对应横纵坐标a[i]和a[j]之和不断增大。再明显点就是:
<pre>
--------------------------------->
| a[0], a[1], a[2],..., a[n]
| a[0] 小 小 小 未2
| a[1] 小 小 X 大
| ...
| a[n] 未1 未1 大 大
/
</pre>

矩阵中每个元素的值都是其横纵坐标a[i]与a[j]的和,当前位置为X,“小”对应位置的值小于“X”对应的值,“大”对应位置的值大于“X”对应的值,剩余的“未1”和“未2”对应的值和“X”的关系是未知的。这道题就转化为判断在这个矩阵中是否存在值为s的元素。
现在假设当前值x比s小,说明“小”对应的值都要小于s,那么我们应该在“大”,“未1”和“未2”中继续找;反之亦然,当前置x比s大时,说明“大”对应的值都要大于s,那么我们就应该在“小”,“未1”和“未2”中继续找。这个过程就是对搜索区域进行简化排除的过程。
那么现在又有一个问题,这每一次的简化得到的剩余的区域是个多边形,并不是矩形,不能很好的实现在一个矩形模板上简化问题的目的。如何才能做到每一次简化后剩余的还是一个矩形呢。很简单,直到随意选择左下角或者右上角作为起始判断位置,然后进行简化就可以了。比如从右上角开始,那么第一次简化时x>s就可以排除最右边那一列,如果x<s就可以排除最上边那一行,剩下的就还是一个矩形了。然后不断简化,直到排除掉所有的元素,或者找到x==s时为止,问题就解决了。
把这个理论实现为代码时就是像上面的伪代码一样,从最左和最右同时开始遍历。
当然还有很多其他的方法可以解这道题,但是这种方法应该是时间复杂度最小的了,如果有人有更好的方法可以下来交流。

测试题2--计算三角形面积

题目:给定一个三角形三个定点的坐标,计算这个三角形的面积。
解法:这个题有很多解法,较简单的就是通过公式计算,比如:

  1. 海伦公式:sqrt(d(d-a)(d-b)(d-c)),其中a,b,c为三角形的三边长,d为三边和的一般,就是d=(a+b+c)/2;这种解法需要使用公式先计算出三条边的长度。算法缺点就是计算机计算时会有误差存在。
  2. 使用面积=底×高/2的公式,同样的也需要使用其他公式计算高,还有边长,缺点也是会有误差。
  3. 利用向量外积公式:向量的外积还是一个向量,新向量的模为:|AB×AC|=(|AB|×|AC|×sin(θ));三角形面积=(1/2)(AB×AC)=(1/2)(|AB|×|AC|×sin(θ));所以可以根据向量的外积得到三角形的面积。外积的坐标表示为:(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1),向量的外积是建立在三维空间上的,我们要求三角形的面积就可以把其中一个维度的坐标定位0,比如z1=z2=0,这样就得到(x1,y1,0)×(x2,y2,0)=(0,0,x1y2-x2y1)。假设三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则AB=(x2-x1,y2-y1),AC=(x3-x1,y3-y1);则面积=(1/2)|AB×AC|=(1/2)((x2-x1)×(y3-y1)-(y2-y1)×(x3-x1));
  4. 多边形面积公式:就是将多边形分割为多个三角形,然后求所有三角形的总和,所以本质也是利用了上边的向量外积公式。

测试题3--求最短距离

题目:在二维直角坐标系中有一个与坐标平行的矩阵,给出这个矩阵的四个点A,B,C,D的坐标,以及一个矩阵外的P点坐标,计算P点到矩阵边界上任意一点的距离中的最短距离。

我的思路:这个题最开始我想到的是把矩形的四条边无限延长,这样坐标系就被分为了8个区域,当P点在这8个区域中的正上下左右方时,最短距离就是P点横坐标和纵坐标与A,B,C,D四个点坐标的横坐标和纵坐标差值中的最小值;而当P点在剩余的四个区域时,最短距离就是P点和A,B,C,D四个点距离中的最小值。
我的这个思路当然是可行的,但是不够简洁,虽然和最优答案很接近了,但是没有抓住本质。下面来说以下更好的解法。

假定最短连线中除P(p1,p2)点外的另一个点为S(s1,s2),那么s1=max(min(a1,b1),min(max(a1,b1),p1));s2=max(min(a2,c2),min(max(a2,c2),p2)),然后直接求SP的距离就可以了。这里的s1就是a1,b1和p1三个数排序后位于中间的那个数的值,s2就是a2,c2和p2三个数排序后位于中间的那个数的值。


。。。未完待续。。。

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