维度空间的通俗解

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六合外
2017.03.27 22:02* 字数 5947
图片发自简书App

作者按:

其实这篇文章完成主体部分是在去年年底,为了使文章更加严谨,同时打算绘制一些配图,所以一直没有发布,之后忙于别的事情便搁置了,年后无意中在喜马拉雅上听到汪洁老师的播客《科学有故事》,想着听完汪老师的关于纬度空间的内容,来验证下我的内容是否还有漏洞,结果听完44集《科学有故事》,又听了二十多集《时间的形状》才听到这部分内容,之后经过修改才有了这个版本了。

此类科普文其实百度上一搜一大把,再写一篇的目的只是为了避免出现“专家盲点”,没有晦涩的方程式,不需要借助其他书籍来理解其中的内容,我不是专家,可以尽量用最通俗的语言来描述。

当然文章的内容是基于现有的主流科学理论,如果你是反相派(反对相对论学派)之类的专业人士,请绕道。

引:

空间纬度本来是个几何学概念,长宽高么,小学生都明白,起初爱因斯坦的老师闵可夫斯基引用纬度概念创建了“闵可夫斯基时空”,之后天文学、物理学很多著名的理论都是借助纬度空间而提出的,包括爱因斯坦借助四维时空概念完成的相对论,卡鲁扎和克莱恩借助五维空间来统一了爱因斯坦场方程和电磁学方程,直到上世纪九十年代提出的M理论(超弦理论之一),维度空间被提升到了十一维。当然,高维空间是科学家虚构的概念,至今无人能证明它的存在。维度空间涵盖了众多晦涩的数学模型和物理学方程,特别是超过三维后,连想象都变得异常困难,所幸我们无需理解的那么深,通过了解低维空间之间的一些特殊关系,就能窥得高维空间的一二。

维度空间

人类生存的空间是三维空间,我们的世界里所有能被我们观测的物体都可以用长宽高三个维度来表述,用笛卡尔坐标系x、y、z来表示。三维也就是我们通常所说的立体,或者3D。那么一维便是没有宽度的线,二维是没有高度的面,这都不难理解,虽然一维和二维我们观测不到(因为它不属于我们这个空间,就算存在我们也无法观测,没有厚度就意味着它是透明的)。但四维空间是怎么样的呢?多出的那一个维度是什么?我们无法想象,这超出了人类的认知。如果把一个最聪明的人类放进四维空间里,恐怕他也无法理解他所看到的一切,这就好比一个初生婴儿来到这个世界的那一刻一样的茫然。

第四维是什么?

高维空间如此难以理解,但低维空间却较容易被我们想象,我们还是从二维空间和三维空间之间的关系说起吧。

形状的关系

我们先用一张A4纸来模拟一个二维空间,当然要想象这张纸是没有厚度的。在这个二维空间里有一个智慧体(我们无法认为其他纬度空间一定存在生命体,但必须假设有一个物体拥有智慧,因为需要它执行我们的指令。)姑且叫它小明同学吧。

我们拿一个球,用一个点光源把球投影到这张纸上,小明同学在它的二维空间里看到一个圆形投影(事实上小明同学在原地只能看到圆形的侧面,那是一条线段,无法判断出这是个圆形,就像人类祖先认为地球是个平面一样,小明同学必须付出巨大的努力才能明白人类努力了几百万年才明白的道理。)但是要得到同样大小和位置的圆形投影,被投影的物体却不是唯一的,我们可以更换不同大小的球,只要调整光源的位置就能做到,或者把球换成圆盘,甚至可以是橄榄球,只要调整橄榄球的角度依旧可以获得同样的圆形投影,但可怜的小明同学却不知道我们在偷梁换柱,在他看来没有任何区别。

球和圆盘可以投影出完全相同的二维图形

事实上举一反三可以明白,任何形状的投影,它的被投影物体都不是唯一的,同样同一个被投影物也能投影出不同的形状,但不管如何变化,小明同学都不可能理解,这完全超过了他的认知。

同一个正方体可以投影出不同的二维图形

如果有一天课堂上小明同学举手说:“老师,我认为,长方形和半圆其实是同一种形状(半圆柱体)。”我想这个时候小明的爸爸该出场了吧!

我们千万不要去嘲笑懵懂的小明同学,就像我们不能嘲笑古人的“地心说”一样。能提出“地心说”可是当时最聪明的人,我们的小明同学也自然是二维空间里最聪明的智慧体,但你和我可万万不敢说是三维时空里当下最聪明的那批人。接下来要换我们扮演小明同学来想象下四维空间里的形状,但是我们不该用“想象”二字,因为四维空间不可想象,只能根据低维空间关系,用类比的方法来分析。

第一种是欧氏几何类比。零维的点沿着1维的方向移动一段距离,那么他的起始点、结束点和移动路径组成了一维的线段,线段再通过第二维的方向移动,起始线、结束线和运动路径会得出一个二维的面,面接着沿着第三维移动,起始面、结束面和运动路径就塑造了一个三维的立方体,同样的,我们让这个立方体沿着第四维移动,那他的起始体、结束体和移动路径就创造了一个四维超立方体。我知道现在大家脑子里一定有个三维立方体在到处飞,让它停下来吧,它不可能超越你的认知找到第四维方向的。

第二种是方程式类比。科学家根据零维到三维空间中形状的顶点和棱的数量变化关系,推导出一个数学方程式:(x+2)^n(“^”后面的变量表示次方),我们把维度数量代入n并展开后,展开式中k次项的系数就表示这个维度正方体中k维元素的数量。是不是很拗口,我们来打个比方吧:三维正方体n=3,代入并展开后得到(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8(这是高中学的一元三次方程吧,我是完全忘了)。展开式中3次项系数为1,就表示三维正方体具有1个三维的体,2次项系数为6表示具有6个二维的面,1次项系数为12表示有12条一维的棱,0次项(x^0=1)系数为8表示有8个零维的顶点。大家默默在心里数一下,是不是符合我们认知的三维正方体的特征。大家再代入二维、一维甚至零维,也都一一符合。现在我们来看看四维正方体:(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16,很容易看到,四维正方体有1个四维的超体、8个三维的体、24个二维的面、32个一维的棱、16个零维的顶点。

网上随便搜下关键词“超正方体”就会出现那个经典的大体套小体的形状,我第一次看到的时候也很费解,四维的正方体怎么会长的这么普通呢?这里要说明一下,这个形状其实并不是四维的,且让我慢慢道来。我们知道正方形仅仅是三维正方体在二维空间里的一个非常特殊的投影,这个正方形投影的四条棱其实是正方体最接近光源的那个平面的四条棱,也就是说只不过是最接近的那个面的投影,而正方体其他的面、棱都被这个面挡住了光线而已,并不是凭空消失了,假如我们把正方体的面变成透明,只剩下棱,这时投影出来的就是一个大正方形套着一个小正方形,并且两个正方形的四个顶点分别有棱相连的形状,也就是一个小正方形四条棱向外扩张,在小正方外面形成了四个梯形。

正方体二维投影

所以我们有理由相信,高维形状在低维的投影也不会损失任何元素,不被我们看到的元素只不过是互相重叠或者遮挡了而已。同理我们可以推测三维正方体无非就是四维超正方体最接近光源的那个正方体十二条棱投影出来的投影,其他正方体被挡住了光线而隐藏在这个正方体内部。

实体超正方体的三维投影

由此科学家们想象出了一个大立方体套着一个小立方体,并且八个顶点互相相连的四维透明超立方体的三维投影。

透明超正方体三维投影

现在我们来数数这个投影的元素,是不是符合方程式类比得出的结论:1个四维的超体、8个三维的体、24个二维的面、32个一维的棱、16个零维的顶点。它看上去就像是一个小正方体的六个面分别向外扩张最终形成的一个小正方体外六个梯台围合而成的形状。看上去是如此的完美有木有?

小正方体向外扩张

随意变换一大一小两个正方体的形状、大小和位置,形成的形状就都是四维超正方体在三维空间里的投影。联系之前正方体和正方形投影关系,我相信大家一定能理解超正方体和正方体的投影关系。

几种超正方体的三维投影

至于超正方体的展开,就像正方体展开成平面一样,超正方体的展开就是一个正方体五个面外面分别衍生出五个正方体,另一个面外面衍生出两个正方体,一共是八个正方体。很难想象这一堆连在一起的正方体是如何才能组合成一个超正方体的,这恐怕就要通过那个我们不知道的第四维转啊转啊的才能做到了。

超正方体的三维展开

大家可以想象下《星际穿越》最后库柏来到一个周围满是他女儿房间的场面,是不是很震撼?

《星际穿越》剧照

塔斯说:“我现在在他们五维空间里……我不知道,但是他们在我们所无法理解的他们的五维空间里构建了这个三维空间……你看,时间在这里是以实体方式存在的。”这个对话告诉了我们很多信息。首先,塔斯在五维空间,而库柏在他们构建的三维空间里,画面停留在这个三维空间是因为导演无法呈现一个五维空间给观众,塔斯也说了它并不知道原因,并且五维空间它无法理解,这是自然的,机器人是人造的,机器人的认知也无法超越人类,再牛逼的导演也无法让他做到。其次,某些镜头里展现了相邻的几个房间里窗帘的运动几乎是同步的,但库柏转身又看到了不同时间点的房间,我理解为窗帘的运动可能存在我们肉眼无法察觉的微弱时间差,这可能就是塔斯所说的:时间在这里是以实体方式存在的,也就是说五维空间拥有真正的时间维,这个时间维拥有与其他维度相同的特质。关于时间我们暂且不细表了,脑洞开的太大不符合文章的主旨。

《星际穿越》矩阵中相邻两个房间的窗帘运动看不出明显变化

假如不考虑时间维因素,我们来算算五维展开成三维的形状数量:一个五维体有40个四维体,320个三维体。

《星际穿越》密密麻麻的立方体矩阵

距离的关系

我们拿一个正方体的包装盒,把一只苍蝇放在盒子内部的一个角A上,它的目标是对角点B,通过中学立体几何知道苍蝇要想用最短时间到达B点,只能沿着连接AB两点的对角直线飞行,这在三维空间中被我们认为是最短的距离,但在二维空间的小明如果也想从A点到B点,他就像不会飞行的蚂蚁一样,只能沿着包装盒的内壁爬行,那么我们怎么计算两点间最短距离呢?我们把盒子拆了,展开成一个平面,再把两点用直线连接。当把盒子组装回来后我们不难发现,事实上小明需要从A点出发走过两个平面,并通过第一平面和第二个平面相连的棱中点最终到达B点。显然路程要远的多,但可怜的小明同学依然固执的认为他走的是最短的直线,并且一直处于同一个方向,根本没有转弯,因为这个曲度存在于二维空间外的第三个维度上。

包装盒内行进路线图

其实根据爱因斯坦的广义相对论,我们可以有比较直观的感受。广义相对论认为,时空会受到引力场的影响从而扭曲,就像一张网中间放一个铁球,网受重力影响而扭曲一样。

星体引力场造成的空间扭曲

假如我们乘坐宇宙飞船作直线运动从某个星球旁边飞过,实际上在星球周围的时空是扭曲的(注意是时空,也就是说时间和空间都被弯曲了),虽然我们认为我们走的是直线,实际上我们走的却是曲线,并且人类在飞船外任何一个角度观测,飞船走的都是直线,因为我们眼睛观测物体依赖的是物体反射过来的光线,就像光线通过镜子折射到我们眼睛里,我们会觉得光是在镜子后面通过直线传播被我们看到的,只不过我们看到的物体的位置和物体实际的位置变了,但人类会通过被验证的知识给出正确的判断。爱因斯坦的这个时空理论被爱丁顿在1919年用“星光实验”成功验证后,我们的经验告诉我们,飞船其实走的是曲线。

离太阳较近的光线受引力场影响而弯曲

但我们却没有第四维的经验,就像小明没有第三维的经验一样,永远都无法感知和判断。现在我们开始认为的包装盒上对角点AB之间最短的距离还是不是那条我们不假思索都确信无疑的对角直线呢?我们只能说,在高维空间里显然不是,通过高维的变形可以得到不同的答案。

很多艺术作品中经常出现空间跳跃的概念,比如游戏《家园》中翻译为超空间跳跃,宇宙飞船就像穿越了一扇隐形的机器猫的任意门一样在宇宙的另一端出现。需要说明的是,其实“跳跃”这个表述并不准确,我们理解的跳跃往往附带了时间,从开始到结束描述的是整一个过程,而作为空间跳跃的物体上的某一个点,其实这种跳跃并没有过程,一个点在这里消失的同时,在一个地方出现,是绝对同步的。这种现象类似量子力学中“量子跃迁”(原子捕获或释放光子后,能够在高能态和低能态之间跳跃,这种跳跃不需要时间。),所以引用量子力学中的“跃迁”更为妥帖。

《家园》超空间跳跃

前面的思想实验中我们已经看出端倪,在高维空间中通过扭曲低维空间可以改变距离的长短,那么我们尝试作一个较为特殊的扭曲吧。同样一张没有高度的A4纸模拟二维空间,同样的智慧体小明等待我们下达指令。现在我们小明站在一条短边附近的A点,目的地是正对面另一条短边附近的B点,在平坦的二维空间中,最短距离是两点间在二维的连线长度。接下来我们把A4纸折叠,使AB两点重合,只见小明同学双手完成了一个古老又复杂的结印后,成功从A点跃迁到B点。这就是空间跳跃的思想实验。然而要想把三维空间折叠我们做不到,或许四维空间或者更高维空间的智慧体能做到吧。目前最前沿的弦理论推测或许能够实现,但所需要的能量大到无法想象,况且弦理论本身还只是被定义为哲学范畴,尚不属于物理学范畴。

空间折叠可以实现两点重合

位置的关系

小明同学放假独自去探险,现在他正站在一堵墙的面前,他绕着这堵墙走了一圈后,发现墙是圆形的,小明很想进去看看里面有什么东西,但似乎没有门。这个时候他的耳边响起一个古老而圣洁的声音:“爬过去啊!”小明脑袋上蹦出一个大大的问号……

实际上我们从三维角度看,这堵墙其实是个圆环,在二维空间的两个维度里它是绝对封闭的,这不像前面的包装盒,小明多费点时间和体力一样能从A点到达B点,这次小明是无论如何进不去的,但在我们的第三维上它其实是开放的,假设一只苍蝇停在小明身边的话,它只要扑腾两下翅膀就飞进去了,在小明看来,苍蝇在他身边消失,在墙另一边出现,就像是科幻作品中的穿墙术,高维生物可以所以穿过低维空间所谓的墙,可惜小明的世界不存在这第三维,爬过去或者飞过去都不被小明所理解。

同样,我们三维世界里各种密室悬案,对于高维智慧体来说,就像跨过一个水洼一样简单,只要高于三维的其中一维是开放的就能办到。当然,如果高于三维的任何一维都不是开放的,那这个密室不就是实心了么(联想下那个圆环)?

还有另外一种位置的关系,三维的物体穿过二维空间会发生什么?如果一个三维的球穿过小明身边的二维空间,在他身边起先会出现一个点,这个点变成一个圆,并且慢慢变大,穿过一半后又慢慢变小,最后又变成一个点,然后消失,就像我们的CT光片一样,接触面就是我们身体的一个切片,内部清晰可见(当然小明是看不到内部的)。这样我们可以类比四维的球体(极球体)穿过三维空间就是一个小点,变成一个三维小球并且慢慢变大,穿过一半后又慢慢变小,直至消失的过程。

刚才说到人体切片,想到霍金曾经打了个比方:假如两维人需要进食和排泄,那么一根管道会将人切成两半。这脑洞大的也是没谁了。如果还有血管的话,岂不是变的支离破碎?

时间的关系

以前一直以为四维不就是三维加时间么?其实没那么简单,时间本来就存在于三维空间,四维空间的时间和三维空间的时间没有本质的区别,至于造成误解的原因是混淆了“四维空间”和“四维时空”概念的区别,四维时空仍然是三维空间,只不过假设加上了一维时间,其实这一维时间是伪维度,真正的四维空间的第四维仍然和其他三维有相同的特性,而时间的特性显然不同,并且时间存在于所有维度空间。

结束语

可能有人会说,怎么证明高维空间一定遵循低维空间的特征和规律呢?万一高维空间是完全不同于低维的存在呢?我不敢肯定什么,但我相信上帝不仅不掷骰子,上帝也不玩戏法。宇宙的另一边一定也存在着某种氨基酸,宇宙的定律一定适用于每一个角落,上帝手里除了《圣经》,一定还有一本《万物理论》。

随笔