001--算法之"高手过招"[分治算法专题]

作者: CC老师(刘依)

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算法之"高手过招"

1.1 什么是分治策略算法?

在计算机科学中,分治策略是非常重要的算法思想. 字面上的意思就是把一个复杂问题分解成2个或者多个相同或者相似的子问题. 再子问题的分解成更小的子问题; 直到最后的子问题可以简单的直接求解. 再将子问题的结果合并得到原问题的结果;

这样的方式,比如常用的排序算法中, 快速排序以及归并排序都是利用了分治策略算法的思想实现的. 在分治策略中, 我们递归地求解一个问题, 在每层递归中应用如下三个步骤:

分解(Divide)步骤, 将问题划分为一些子问题. 子问题的形式与原问题一样. 只是规模更小;
解决(Conquer)步骤,递归地求解出子问题,如果子问题的规模足够小,即停止递归.直接求解;
合并(Combine)步骤,将子问题的解组合成原问题的解;

image.png

当子问题足够大, 需要递归求解时. 我们就称之为"递归情况". 当子问题变的足够小, 不再需要递归时, 这时递归就已经"触底". 进入了基本情况;

并不是所有的问题都能化解成完全一样的子问题. 也会出现需要求解与原问题不完全一样的子问题. 接下来在这一阶段的课程,我们会看到更多基于分治策略的算法.

分治策略,在理解以及设计分治策略的算法的能力需要一定时间去掌握.它需要运用归纳法去证明一个理论. 为了使得递归能够被推行. 很多时候需要用一个较为概括或复杂的问题去取代原有问题,而且并没有一个系统性的方法去适当的概括问题;

分治算法需要不错的数学归纳能力.因为分治策略的算法通常需要以数学归纳法来验证, 它的计算成本则多数以求解的递归关系式来判定;

由于分治策略的特性, 它最直接的表现形式常常以递归出现.

1.2 连续数列

难度系数: ☆☆☆
题目来源: LeetCode 下分治策略专题
题目描述: 给定一个整数数组,找出总和最大的连续数列, 并返回总和;
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组[4,-1,2,-1];
题目解读:
实际上, 这个题目就是单纯的获取从一个数组中,找出连续索引值下元素相加的总和最大的序列; 例如题目描述的例子. 从头到尾进行查找, 使得连续的元素相机得到一个最大的总和;
关键词: 连续数列, 最大, 整数数组. 总和;
出现过企业面试题: 百度

1.2.1 暴力法

LeetCode 执行结果

image.png

暴力算法思路

判断数组中的元素个数, 如果元素个数为0,则直接返回0;
判断数组中的元素个数, 如果元素个数为1,则直接返回索引为0下的元素值;
定义临时变量: i,temp,maxValue; 默认将maxValue 设置一个极小的值作为初始化值;
开始循环,
循环起始值i = 0;
循环结束条件: 当i从头到尾都遍历了一次;
循环递增条件: i每次自增1;
在循环体中;
将临时变量temp 记录从0~i的和的累积;
判断当前的temp 是否大于 maxVaue. 如果大于MaxValue 则更新maxValue;
判断当前的temp如果小于0的情况出现,则将temp 赋值为0;
最后返回maxValue;

暴力算法代码实现

int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
    if(numsSize==0) return 0;
    if(numsSize==1) return nums[0];
    int i=0,temp=0,maxValue=-1024;
    for(i=0;i<numsSize;i++)
    {
        temp=temp+nums[i];
        if(temp>maxValue) maxValue=temp;
        if(temp<0) temp=0;
    }
    return maxValue;
}

执行过程动画效果

连续数列(暴力法).gif

温馨提示: 上图为动图效果. 网页阅读更佳

1.2.2 分治策略

站在分治策略的角度下思考, 求最大连续数组. 我们可以预估到最大连续数组的和有可能出现的3个位置如下:

数组的左半部分的最大连续数组和;
数组的右半部分的最大连续数组和;
横跨数组的左半部分和右半部分得到最大连续数组和;
三者比较大小, 最大者即为我们所求的最大连续数组的和.

LeetCode 执行结果

image.png

接下来,我们分析案例中提供的数组. 来推演分治策略的算法思想;

如果推演过程,数组中元素太多.可能会造成大家对于分治策略中提出的关于有可能出现最大连续数组和的3个猜想造成理解负担;

所以我们假设此时数组中只有2个元素. 数组nums[2] = {-2,1}; 其中-2和1只是随机设计的数字.

也就是 这2个数字最多组成3个可能性;

-2; 表示数组左半部分的有可能是最大连续数组的和;
-2 + 1 ; 表示数组横跨左半部分和右半边部分有可能是连续数组的和;
1 ; 表示数组右半部分有可能是最大连续数组的和;
最后, 比较这3个数字,取最大就能获得最大连续数组的和;

image.png

分治策略算法思路

分析: 分治策略在开篇,我们就谈过. 分治策略的本质就是将问题拆解成最小子问题, 再将子问题的结合进行合并; 而连续数列问题, 其实就可以用到分治策略中的递归的方式来进行解决; 刚刚我们通过对2个元素的数列进行小基数数据的推演. 我们需要将数列拆解左右2个半部分, 依次递归拆解. 直到只剩下一个数字时就触碰到递归的底线; 那么现在我们捋顺一下这个问题的思路;

思路:

将数列一分为二. 求解mid = left + (right - left)/2 ; 那么为什么要这么计算mid 是因为数列在不断拆解的过程,数列本身就被折断了. 但是我们不能记录错误的mid; mid 还是基于nums 原始数组的index ;
递归求解数列左半部分的和则调用 subMaxValue(nums, left, mid);
求出左半部分和之后, 则继续求解从left 跨越mid 到 right 这横跨中间部分的和; MidValue(nums,left,mid,right);
继续递归求解数列右半部分的和.则调用 subMaxValue(nums, mid+1,right);
最后在每一次递归回调上层之前,判断 left_sum,mid_sum,right_sum**** 谁的值更大,则返回上一层递归
继续递归回滚. 直到所有的递归都回滚到入口时,就求解出来连续数列的最大和

image.png

分治策略代码实现

//
//  main.c
//  001--连续数组(分治策略)
//
//  Created by CC老师 on 2020/9/7.
//  Copyright © 2020 CC老师. All rights reserved.
//

#include <stdio.h>
//宏定义无穷小
#define INF -2147483647
//求a和b的最大值
#define max( a , b ) ( a > b ? a : b )

//求跨越中点mid的最小子数组和
int MidValue( int * nums , int left , int mid , int right ){

    int left_sum = INF , right_sum = INF;
    int sum = 0;

    //求中点最半部分和
    for( int i = mid ; i >= left ; i-- ){

        sum += *( nums + i );

        if( sum > left_sum ){

            left_sum = sum;

        }

    }

    sum = 0;

    //求中点右半部分和
    for( mid++ ; mid <= right ; mid++ ){

        sum += *( nums + mid );

        if( sum > right_sum ){

            right_sum = sum;

        }

    }

    return right_sum + left_sum;

}

int subMaxValue( int * nums , int left , int right ){

    if( left >= right ){

        return *( nums + left );

    }

    int mid = left + ( right - left ) / 2;
    //仅求中点左部分和
    int left_sum = subMaxValue( nums , left , mid );
    //求跨越中点的和
    int mid_sum = MidValue( nums , left , mid , right );
    //求中点右部分和
    int right_sum = subMaxValue( nums , mid + 1 , right );
    
    return max( left_sum , max( right_sum , mid_sum ) );

}

int maxSubArray( int * nums , int numsSize ){

    return subMaxValue( nums , 0 , numsSize - 1 );

}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("Hello, World!\n");
    //int nums[] = {-2,1,-3};
    int nums[] = {-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4};
    int maxSum = maxSubArray(nums, 9);
    printf("%d\n",maxSum);
    return 0;
}

总结与分析

连续数列这个问题, 我们实现了2种方法. 第一种是暴力法, 第二种是分治策略; 但是从代码实现的结果以及他们的执行时间和内存空间占用上,可以发现第一种方法更有优势. 所以在解决算法问题时, 并不是单纯的认为分治策略的解决的方案就会比暴力法高级. 其实算法重要的还是比较他们的时间/空间复杂度. 更重要的是从不同的解决策略去实现算法, 最大的收益是开拓的解决问题的思维方式;

实际该问题,还有一种解决方案. 是动态规划. 因为该篇章的主角是 "分治策略" 所以我们就不在这篇中来进行喧宾夺主的事情. 后续会有专门关于动态规划的篇章,我们在继续延伸学习.

算法之"高手过招" 专栏会以几大算法策略为主题的进行不断更新. 后续会继续更新"分治策略"篇章.

致谢!

该文章,仅献给在编程路上, 持续热爱算法的开发者

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