【算法篇】二分图匹配之匈牙利算法

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沧海无雨
2018.07.26 10:45* 字数 1743

二分图匹配,自然要先从定义入手,那么二分图是什么呢?

二分图:

二分图又称作二部图,是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图,如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B),则称图G为一个二分图。

简单的说,一个图被分成了两部分,相同的部分没有边,那这个图就是二分图,二分图是特殊的图。

匹配:

给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。
极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。
如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中某条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备匹配。
求二分图匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)

注意匈牙利算法,除了二分图多重匹配外在二分图匹配中都可以使用。

注:二分图匹配中还有一个hk算法,复杂度为o(sqrt(n)*e)由于复杂度降低较低,代码量飙升而且绝大多数情况下没人会闲的卡个sqrt的复杂度。。在此先不讲了,有兴趣可以自己百度,貌似卡这个算法的只有hdu2389嘛。
首先我们讲解一下匈牙利算法的过程:

匈牙利算法:

匈牙利算法几乎是二分图匹配的核心算法,除了二分图多重匹配外均可使用

匈牙利算法实际上就是一种网络流的思想,其核心就是寻找增广路。具体操作就是嗯——拉郎配

注:以下转自 http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等,看得头大?那么请看下面的版本:

通过数代人的努力,你终于赶上了剩男剩女的大潮,假设你是一位光荣的新世纪媒人,在你的手上有N个剩男,M个剩女,每个人都可能对多名异性有好感(-_-||暂时不考虑特殊的性取向),如果一对男女互有好感,那么你就可以把这一对撮合在一起,现在让我们无视掉所有的单相思(好忧伤的感觉),你拥有的大概就是下面这样一张关系图,每一条连线都表示互有好感。

关系图

本着救人一命,胜造七级浮屠的原则,你想要尽可能地撮合更多的情侣,匈牙利算法的工作模式会教你这样做:

一、先试着给1号男生找妹子,发现第一个和他相连的1号女生还名花无主,got it,连上一条蓝线
二、接着给2号男生找妹子,发现第一个和他相连的2号女生名花无主,got it
三、接下来是3号男生,很遗憾1号女生已经有主了,怎么办呢?

我们试着给之前1号女生匹配的男生(也就是1号男生)另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生,但是2号女生也有主了,怎么办呢?我们再试着给2号女生的原配重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的,这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生,那么之前的问题迎刃而解了,回溯回去

所以第三步最后的结果就是:

四、 接下来是4号男生,很遗憾,按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子,我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

这就是匈牙利算法的流程,其中找妹子是个递归的过程,最最关键的字就是“腾”字。

其原则大概是:有机会上,没机会创造机会也要上。
核心代码
bool find(int x){
    int i,j;
    for (j=1;j<=m;j++){    //扫描每个妹子
        if (line[x][j]==true && used[j]==false)      
        //如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题,但是没有成功,所以就不用瞎费工夫了)
        {
            used[j]=1;
            if (girl[j]==0 || find(girl[j])) { 
                //名花无主或者能腾出个位置来,这里使用递归
                girl[j]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

在主程序我们这样做:每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步。

for (i=1;i<=n;i++)
{
    memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空
    if find(i) all+=1;
}

例题讲解

RPG girls今天和大家一起去游乐场玩,终于可以坐上梦寐以求的过山车了。可是,过山车的每一排只有两个座位,而且还有条不成文的规矩,就是每个女生必须找个个男生做partner和她同坐。但是,每个女孩都有各自的想法,举个例子把,Rabbit只愿意和XHD或PQK做partner,Grass只愿意和linle或LL做partner,PrincessSnow愿意和水域浪子或伪酷儿做partner。考虑到经费问题,boss刘决定只让找到partner的人去坐过山车,其他的人,嘿嘿,就站在下面看着吧。聪明的Acmer,你可以帮忙算算最多有多少对组合可以坐上过山车吗?
Input
输入数据的第一行是三个整数K , M , N,分别表示可能的组合数目,女生的人数,男生的人数。0<K<=1000 ,1<=N 和M<=500.接下来的K行,每行有两个数,分别表示女生Ai愿意和男生Bj做partner。最后一个0结束输入。
Output
对于每组数据,输出一个整数,表示可以坐上过山车的最多组合数。
Sample Input
6 3 3
1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
0
Sample Output
3

参考代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int a[510][510];
int g[510],u[510];
int m,n;
int fun(int x)
{
   int i;
   for(i=1;i<=n;i++)    
   {
       if(a[x][i]!=0&&u[i]==0)
       {
          u[i]=1;
          if(g[i]==0||fun(g[i])!=0)
          {
              g[i]=x;
              return 1;
                }
          }
   }
   return 0;
} 
int main()
{
    int i,j,k,x,y;
    while(scanf("%d",&k),k!=0)
    {
        scanf("%d%d",&m,&n);
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(g,0,sizeof(g));
        for(i=0;i<k;i++)
        {
           scanf("%d%d",&x,&y);
           a[x][y]=1;
        }
        j=0;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            memset(u,0,sizeof(u));
            if(fun(i))
              j++;  
        }
        printf("%d\n",j);
    }
    return 0;
}
NOIP
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