华山论剑的活动预算问题(爬山算法)

1. 组团旅游问题

有一天,东邪西毒南帝北丐中神通决定搞一次华山论剑,于是这五绝需要从四面八方坐飞机到西安咸阳机场,然后一起租车到华山比武:

出发 目的
黄药师 青岛 西安
欧阳锋 乌鲁木齐 西安
段皇爷 昆明 西安
洪七公 北京 西安
王重阳 西安 西安

王重阳作为东道主,直接上华山布置场地。同时为了节约活动成本,他还需要安排各位参赛者的行程。由于四位大神只会武功不会开车,他们必须各自飞到西安集合,然后租车到华山,比武完毕一起回到西安,还车,各自飞走,也就是说其他在西安期间要大家一起行动。

这样,如何安排各自的航班就成了问题,有如下因素需要考虑:

  • 机票的价格,本次活动预算有限,理应选择打折机票
  • 到达等待时间:大家一定要等到最后一个人到了西安,才能一起租车出发,早到的人只能等待
  • 返回等待时间:在回程时,大家要按照最早飞走的人的时间到达西安机场,飞机晚的人也只能等在机场
  • 飞机飞行时间:大家都很忙,飞机上无法用手机处理公务
  • 租车费用:如果租车时间超过24小时,就要多付一天的费用,500元

王重阳通过查询到如下从西安到各地的往返航班(虚构):

虚构的航班时刻和价格

下面,他必须做出一个方案,使得活动的成本最小

2. 如何做出这个方案

2.1 将各个影响因素量化
  • 机票的价格:按照实际机票价格计算(元)
  • 到达等待时间:每等1分钟算1块钱
  • 返回等待时间:每等1分钟算1块钱
  • 飞机飞行时间:每飞1分钟算0.5块
  • 租车费用:500元/天
2.2 随机选择一个方案

只要确定每个人的航班选择,就可以综合计算上面5个因素造成的总成本了。这里首先要做一个随机选择,每个人在自己的往返航班中各随机一个航班,如下:
黄药师(1,1):乘坐离开西安的第一个航班,也乘坐到西安的第一个航班
欧阳锋(2,1):同理
段皇爷(3,1):同理
洪七公(2,2):同理
为了后面表达方便(1,1,2,1,3,1,2,2)

2.3 计算这个随机方案的成本

根据2.1中的各个因素计算这个随机方案的成本。随机方案对应的航班情况如下:

随机方案,白色为来西安,黄色为离开西安
  • 机票的价格:1423元
  • 到达等待时间:最晚到达是北丐13:29,其他人每等1分钟算1块钱,为86+117+60=263元
  • 返回等待时间:每等1分钟算1块钱,最早出发是东邪6:19,因此为91+186+124=401元
  • 飞机飞行时间:每飞1分钟算0.5块,选择的八个航班总飞行时间1183分钟,成本为591.5元
  • 租车费用:500元/天,北丐最晚到到后租车,然后去论剑,论玩马上开车赶第二天东邪6:19的航班,因此租车时间在24小时以内,成本500元

最终,这个方案的总成本为 1423+263+401+591.5+500 = 3178.5元

2.4 检查周围的所有可能其他解

改变8个航班中的任意一个,其他都不变。比如改变黄药师的第一个航班,从1可以变为2,就得到一个新的解(2,1,2,1,3,1,2,2)。但是不能把1变成3,因为我们要找的是“周围”的解,换句话说,只能是+1或者-1;1也不能变成0,因为并没有第0个航班。基于这个原则,我们可以得到个周围解,进而利用同样的成本计算规则计算算这些新解的成本。
(不实际计算了,只解释思路,下面的计算结果是虚构的)

  1. (2,1,2,1,3,1,2,2)=3431
  2. (1,2,2,1,3,1,2,2)=3317
  3. (1,1,1,1,3,1,2,2)=3493
  4. (1,1,3,1,3,1,2,2)=3025*
  5. (1,1,2,2,3,1,2,2)=3319
  6. (1,1,2,1,2,1,2,2)=3335
  7. (1,1,2,1,3,2,2,2)=3235
  8. (1,1,2,1,3,1,1,2)=3284
  9. (1,1,2,1,3,1,3,2)=3443
  10. (1,1,2,1,3,1,2,1)=3163
  11. (1,1,2,1,3,1,2,3)=3357

可以发现第4个周围解(1,1,3,1,3,1,2,2)的成本低于最开始随机方案的成本,那么这个方案就变成的当前的最佳方案

2.5 重复2.4直到找不到更低成本的周围解

第4个周围解(1,1,3,1,3,1,2,2)是目前最佳方案,然后继续验证它周围的解,按照此方法,直到找不到更低成本的周围解,那么就得到了最佳的方案(下面的成本计算依然为杜撰,并未实际计算)

  1. (2,1,3,1,3,1,2,2) = 3226
  2. (1,2,3,1,3,1,2,2) = 3113
  3. (1,1,2,1,3,1,2,2) = 3313
  4. (1,1,3,2,3,1,2,2) = 3498
  5. (1,1,3,1,2,1,2,2) = 3050
  6. (1,1,3,1,3,2,2,2) =3102
  7. (1,1,3,1,3,1,1,2) =3198
  8. (1,1,3,1,3,1,3,2) =3444
  9. (1,1,3,1,3,1,2,1) = 3224
  10. (1,1,3,1,3,1,2,3) =3065

这时发现没有更低成本的方案了,那么(1,1,3,1,3,1,2,2)就是本次华山论剑的最佳成本方案。

以上这个方法叫做爬山算法

3. 爬山算法概述

爬山算法就是优化算法的一种,它的思想是这样的:对于复杂的问题,先给出一个随机的解S1,然后在这个解S1的“周围”寻找更好的解S2(周围的含义,是指改变影响最终方案的其中一个因素的取值),如果发现有最好的解S2,那么继续寻找周围有没有更好的解Sx,直到周围没有更好的解了,那么这个Sx就是这个问题的一个局部最优解。

这个算法的思想有点像下山的过程:为了能尽快的下山,我们在山上的一个点,要环顾四周,找到坡度最大的一个方向走一步,然后再次环顾四周,再找一个坡度最大的方向走一步,直到发现四周没有坡度了,那么就到了山脚下了。

很明显,爬山算法是局部最优解,而不是全局最优解,如下图所示:

爬山算法一般只能得到局部最优解

解决这一问题的方法是“重复随机爬山法”,即利用多个不同的初始随机解为起点运行若干次,希望能有一次得到全局最优解。

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