矩阵分析 (四)向量和矩阵的范数

  我们曾经用内积定义了向量空间中一个元素的长度,它是几何长度的推广,利用这个长度的概念我们可以讨论极限逼近的问题。在分析解决这些问题时最重要的是利用了长度的基本性质、非负性齐次性三角表达式

向量的范数

范数的定义

  • 定义4.1:若对任意的x \in C^{n}都有一个实数||x||与之对应,且满足:
  1. 非负性x \neq 0时,||x||>0,当x=0时,||x||=0;
  2. 齐次性:对任意的k \in C||kx||=|k| \cdot ||x||
  3. 三角不等式:对任意的xy \in C^{n}都有:

||x+y|| \leq ||x|| + ||y||

  则称||x||C^{n}上的向量范数,简称向量范数

几种常见的范数

  • 2范数

  设:

x=(x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n})^{T} \in C^{n}

  规定:

||x||_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}

  很容易证明这是范数,叫作向量的2范数。2范数在酉变换下不变。

  • 1范数

  设:

x \in C^{n}

  规定:

||x||_{1} = \sum_{i=1}^{n}|x_{i}|

  则||x||_{1}是范数,叫做向量的1范数

  • 向量的\infty范数

  设:

x \in C^{n}

  规定:

||x||_{\infty} = max_{i}|x_{i}|

  则||x||_{\infty}是范数,叫做向量的\infty范数

  • 向量的p范数

  设x \in R^{n},规定,

||x||_{p} = (\sum |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}}

  则||x||_{p}也是范数,叫做向量的p范数

  • 其它:

  规定:

||f||=max|f(x)|

  ||f||是函数的范数

  在连续函数的空间中,规定:

||f(x)|| = \int_{a}^{b} |f(x)|dx

  ||f||也是范数

生成范数

  在一个向量空间之中可以构造无穷多种范数,前面所述只是最常用的范数。下面给出从已知范数构造新的向量范数的方法

  • 例4 设:

x=(x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n})^{T} \in C^{n}

  规定

||x||=a||x||_{1} + b||x||_{2} \ \ \ (a,b > 0)

  则||x||是范数。

  • 例5A \in C_{n}^{m \times n}|| \cdot ||_{a}C^{m}上的一种范数,对于任意的x \in C^{n},规定||x||=||Ax||_{a},则||x||C^{n}上的范数。

  由于矩阵A可以有无穷多,所以用这种方法可以构造无穷多种范数

范数的等价

  • 定义4.2:给定C^{n}上的向量序列\{x^{k}\},其中

x^{k}=(x_{1}^{k},x_{2}^{k},\cdots ,x_{n}^{k}) \ \ \ (k=1,2,\cdots)

  如果:

lim_{\infty} x_{i}^{k} = x_{i}

  则称\{x^{k}\}收敛,记作:

lim_{k \rightarrow \infty} x^{k} = x

  不收敛的序列叫作发散序列

  • 定理4.1 C^{n}中的向量序列\{x^{k}\}收敛于x的充分必要条件是,对于C^{n}上的范数||\cdot||_{\infty}

lim_{\infty}||x^{k}-x||_{\infty} = 0

  收敛是向量序列的性质,这种性质不应该受到度量方式的影响,也就是一个向量序列在一种范数的意义下收敛,那么它在另一种范数的意义下也应该收敛。一个空间中的序列在一种范数下收敛,那么它在另一种范数下也是收敛的。

  • 定义4.3||x||_{a}||x||_{b}C^{n}上的两种向量范数,如果存在正数kl使得对于任意的x都有:

k||x||_{b} \leq ||x||_{a} \leq l ||x||_{b}

  则称向量范数||x||_{a}||x||_{b}等价。

  • 定理4.2C^{n}空间上所有范数等价。

  即若\{x^{k}\}||\cdot||_{\infty}意义下收敛,则\{x^{k}\}||x||意义下也收敛。向量序列的收敛不受范数选择影响

  同一个向量在不同的范数下长度一般不同,如:

x=(1,1,\cdots ,1) \in C^{n}

  则:

||x||_{2} = \sqrt{n},||x||_{1} = n , \ ||x||_{\infty}=1

  相差很大,但是在讨论收敛时,效果也是一样的,但是要注意,这里讨论的是有限维的空间,无穷维空间可以不等价

矩阵的范数

  由于一个m \times n矩阵可以看作m \times n维向量,因此可以按照定义向量范数的方法来定义矩阵范数,但是矩阵之间还有矩阵的乘法,在研究矩阵范数时应该给予考虑

方阵的范数

  • 定义4.4 :若对于任意的A \in C^{n \times n}都有一个实数||A||与之对应,且满足:
  1. 非负性A \neq O||A|| >0A=O||A||=0
  2. 齐次性:对任意的k \in C:

||kA||=|k|\ ||A||

  1. 三角不等式:对任意的A,B \in C^{n \times n}

||A+B|| \leq ||A|| +||B||

  1. 相容性:对任意的A,B \in C^{n \times n}都有||AB|| \leq ||A|| \cdot ||B||

  则称||A||C^{n \times n}上矩阵的范数,简称矩阵范数

  • 由于定义中的前三条与向量范数一致,因此矩阵范数有与向量范数有类似的性质,如:

||-A|| = ||A||,| \ \ || A|| -||B|| \ \ | \leq ||A-B||

  以及C^{n \times n}上的两个矩阵范数等价。

常用的范数

  • 矩阵m_{1}范数

  与||x||_{1}相仿,设A=(a_{ij})_{n \times n} \in C^{n \times n},规定:

||A||_{m_{1}} = \sum_{i,j} |a_{ij}|

  则||A||_{m_{1}}C^{n \times n}上的矩阵范数,称m_{1}范数

  • 矩阵F范数

  与||x||_{2}相仿,对于A=(a_{ij})_{n \times n},规定:

||A||_{F} = \sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}=\sqrt{tr(A^{H}A)}

  则||A||_{F}C^{n \times n}上的一种矩阵范数,称为矩阵的Frobenius范数,简称F范数

  • 矩阵的\infty范数

  设A=(a_{ij})_{n \times n},规定:

||A||_{m_{\infty}} = n \cdot max_{i,j} |a_{ij}|

  则||A||_{m_{\infty}}C^{n \times n}上的矩阵范数。

与向量范数的相容性

  • 定义4.5:设||\cdot||_{m}C^{n \times n}上的矩阵范数||\cdot||_{v}C^{n}上的向量范数,对任意的A \in C^{n\times n}x \in C^{n},都有:

||AX||_{v} \leq ||A||_{m}||x||_{v}

  则称矩阵范数||\cdot||_{m}与向量范数||\cdot||_{v}是相容的

  • C^{n \times n}上的m_{1}范数与C^{n}上的1范数相容。
  • C^{n \times n}上的F范数与C^{n}上的2范数相容。

用矩阵范数来定义向量范数

  • ||\cdot||C^{n \times n}上的一种矩阵范数,则在C^{n}上可以定义一种向量范数。以二维空间为例,如设x \in C^{2},取\alpha=(\alpha_{1},\alpha_{2})^{T} \neq 0 ,设||\cdot||_{m_{1}}C^{2 \times 2}中的范数,任取:

A=(a_{ij})_{2 \times 2} \in C^{2 \times 2}

  则:

||A||_{m_{1}} = |a_{11}|+|a_{12}|+|a_{21}|+|a_{22}|

  现在任取:

x \in C^{2},x =(x_{1},x_{2})^{T}

  则:

x \alpha^{H}=\left(\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \end{array}\right)\left(\bar{\alpha}_{1} \quad \bar{\alpha}_{2}\right)=\left(\begin{array}{ll} {x_{1} \bar{\alpha}_{1}} & {x_{1} \bar{\alpha}_{2}} \\ {x_{2} \bar{\alpha}_{1}} & {x_{2} \bar{\alpha}_{2}} \end{array}\right)

  是C^{2 \times 2}的矩阵。规定:

\|x\|=\left\|x \alpha^{\mathrm{H}}\right\|_{m_{1}}=\left|x_{1} \bar{\alpha}_{1}\right|+\left|x_{1} \bar{\alpha}_{2}\right|+\left|x_{2} \bar{\alpha}_{1}\right|+\left|x_{2} \bar{\alpha}_{2}\right|

  则在C^{2}中定义了一种运算。

  • 如取:

\alpha = (1,2)^{T},x=(1,1)^{T}

  则:

\|x\|=\left\|x \alpha^{H}\right\|_{m_{1}}=\left\|\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \end{array}\right)(1,2)\right\|_{m_{1}}=6

  取:

\alpha = (1,i)^{T},x=(1,1)

  则:

||x||=||x \alpha^{H}||_{m_{1}}=4

  • 定理4.3:设||\cdot||C^{n \times n}上的一种范数,则在C^{n}上必存在与它相容的向量范数。

从属范数

  前面介绍了由矩阵范数定义向量范数的方法,接下来将要介绍由向量范数来定义矩阵范数的方法。

  我们知道,单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于1在乘法中的作用。但是对于已经知道的矩阵范数,如m_{1}Fm_{\infty}范数,n阶单位矩阵E的范数。

||E||_{m_{1}} = n,||E||_{F} = \sqrt{n},||E||_{m \infty} = n

  能否构造出使得||E||=1的范数呢?

  • 定理4.4:已知C^{n}上的向量范数||\cdot||_{v},对于任意的A \in C^{n \times n},规定:

||A|| = max_{x \neq 0} \frac{||Ax||_{v}}{||x||_{v}}

  则||A||C^{n \times n}上的矩阵范数,称为由向量范数||\cdot||_{v}导出的矩阵范数,简称导出范数或者从属范数

从属范数的计算

  从属范数的计算是求多元函数的最大值,计算并不容易,我们只就向量的1,2, \infty导出的矩阵范数分别是||A||_{1}||A||_{2}||A||_{\infty},则:

  1. ||A||_{1} = max_{j} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|
  2. ||A||_{\infty} = max_{i} \sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|
  3. ||A||_{2} = \sqrt{\lambda_{1}}\lambda_{1}A^{H}A的最大特征值。

  ||A||_{1}是矩阵A的元素取模,然后把每一列元素加起来,取这些列和的最大值。而||A||_{\infty}是把每行的模加起来,然后取最大值。

范数的应用举例

  • 定义4.6:设A \infty C^{n \times n}\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}An个特征值,称\rho(A) = max_{i}|\lambda_{i}|A的谱半径,即A谱半径是A的特征值模的最大值

  • 定理4.6:设A \in C^{n \times n},则对C^{n \times n}上的任何一个矩阵范数||\cdot||_{m},都有:

\rho(A) \leq ||A||_{m}

  • 定理4.7:设A \in C^{n \times n},任取一个正数,都可以找到一个矩阵范数||\cdot||,使得:

||A|| \leq \rho(A) + \varepsilon

我的微信公众号名称:深度学习与先进智能决策
微信公众号ID:MultiAgent1024
公众号介绍:主要研究分享深度学习、机器博弈、强化学习等相关内容!期待您的关注,欢迎一起学习交流进步!

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 151,829评论 1 331
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 64,603评论 1 273
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 101,846评论 0 226
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 42,600评论 0 191
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 50,780评论 3 272
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 39,695评论 1 192
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 31,136评论 2 293
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 29,862评论 0 182
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 33,453评论 0 229
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 29,942评论 2 233
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 31,347评论 1 242
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 27,790评论 2 236
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 32,293评论 3 221
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,839评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 26,448评论 0 181
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 34,564评论 2 249
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 34,623评论 2 249

推荐阅读更多精彩内容