栈结构应用和四则运算

一、栈的概念和特征

栈是一种元素先进后出(LIFO)的数据结构,它限定仅仅在表尾进行插入和删除操作,是一种线性表。其中,允许插入、删除的一端称为栈顶,另一端称为栈底,不含任何元素的栈称为空栈。对于栈的操作包括入栈push和出栈pop

二、栈的存储结构

1. 顺序存储

顺序存储中,栈保存在线性表中,重点在于标记合理的栈顶元素指针,在入栈之后累计,出栈之后释放,同时注意满栈,空栈等边界条件的处理。

顺序存储有种特殊情况,即两栈共享空间,提高了空间的利用率,但是逻辑相对复杂,同时要注意两个栈的数据必须是同类型。这种结构在两个栈的数据处理逻辑相反,即此消彼长的时候,相对的更有意义。

2.链式存储

链式存储的栈也称之为链栈,实际的存储结构是单链表,将链表的头部作为栈顶。当是空栈时,实际链表头部指向为空,即top->NULL。进栈即将新节点插入头部,替换头部指针;出栈即为删除头部节点,更新头部指针。也要关注各种栈为空和即将为空的边界条件(出栈操作后)。

三、栈的应用

1.递归函数

递归中前序结果依赖后序处理结果,如经典的斐波拉契数列问题的递归解法,以下递归函数,可以通过递归代码实现,从复杂高度逐渐递归到简单逻辑,再反推,最终得到结果。值得注意的是,程序中栈的大小有限,太大的栈深度可能无法得到结果(如超时)或者会抛出异常(栈溢出)。
F(n) = \begin{equation} \begin{cases} 0,n = 0\\ 1,n = 1\\ F(n-1) + F(n - 2) , n > 1 \end{cases} \end{equation}

递归函数:直接调用自身或者通过其他语句间接调用自身的函数

斐波拉契的递归代码

int fb (int i){
if (i < 2) 
   return i == 0 ?0: 1;
return fb(i - 1) + fb(i - 2);
}

int main(){
int i ;
for(i = 1; i < 40; i++){
    printf("%d ", fb(i));
 }
}

2.四则运算与逆波兰式

1)概念

逆波兰式(wiki )是一种数学表达方式,所有的操作符位于计算数的后面,无需用括号表示算术优先级,也称之为后缀表达式。这种方式可以使程序方便地实现四则运算。通过后缀表达式,由于运算符都在运算数字之后出现,再结合栈的特性,即可以完成相关计算。举例说明:
9+(3-1)\times3+10\div2
后缀表达式为9 3 1 - 3 * + 10 2 / + ,计算规则是

依次从左遍历表达式,遇到数字,进栈,遇到符号将在栈顶的两数字元素出栈,并执行运算,结果入栈,直到获得最终结果

2)过程演示

遇到数字9 3 1 ,依次入栈,遇到符号 - , 1,3 出栈,执行3 - 1 = 2入栈,栈中9 2 ;
3入栈,栈中9 2 3 , 符号*,执行2 * 3 = 6 入栈,栈中 9 6 ;
符号 + ,执行9+6,15入栈,栈中 15;
10 2 入栈,栈中15 10 2 ;
符号 / , 执行 10 / 2 = 5 入栈,栈中15 5 ;
符号+ ,执行15+5 = 20 进栈,即为最终结果。

3)后缀表达式转换

标准的四则运算表达式也称为中缀表达式,中缀表达式转后缀表达式的过程如下:

从左往右遍历中缀表达式,遇到数字进行输出;空栈时运算符直接入栈;左括号入栈;遇到右括号,执行出栈并输出元素,直到遇到左括号,括号不输出;遇到运算符,弹出所有优先级等于或者大于当前符号的运算符,并将当前符号入栈;最终所有元素依次出栈,获得表达式。

4)中缀转后缀过程

9+(3-1)*3+10/2为例
遍历,9输出,+ 栈中为空,入栈,左括号入栈;
3输出,- 不高于 + ,入栈,1 输出,当前输出9 3 1,栈中+ ( -
右括号,- ,(出栈,遇到左括号,输出为9 3 1 -, 栈中+;
符号* 优先级大于+ ,入栈,3输出,当前输出为9 3 1 - 3,栈中+ *
遇到+,优先级小于,等于+,出栈,+出栈,+入栈,栈中+,输出为9 3 1 - 3 * +
10输出,/ 优先级大于+,/ 入栈,当前输出为9 3 1 - 3 * + 10 ,栈中+ /
2 输出,栈中输出,得到最终结果。 9 3 1 - 3 * + 10 2 /

另一种方法为根据优先级,忽略括号,构建树形结构,分别对应树的中序遍历和后序遍历。本文内容较多,在下一篇会做简单介绍。

以上读书笔记。

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