对数的赏析

这个标题读起来可能会产生歧义,一种是对——数的赏析,另一种是对数——的赏析。前者中“对”是动词,作用于“数的赏析”,后者“对数”是一个词,类比前者,后者应当叫“对对数的赏析”。

今天本文说的是后者,数学讲究简洁美,还是叫做“对数的赏析”吧!

有了数之后,数就有了运算,加减乘除大家都比较熟悉,1+1就是加法运算,运算的结果是2,加法运算的结果,我们称之为“和”。所以加减乘除对应着和差积商,前者是运算,后者是运算的结果。

数学的东西有时候既要看结果,也要看过程,过程往往比结果更重要。

看结果是注重能力,看过程是关注素养。打个比方说,一个人辛辛苦苦劳动了一年,收入了一万元,另一个人蒙上面抢银行,一会儿掠夺到十万元。单从能力上看,后者能力强,钱多就是厉害,人们喜欢向钱看;如果从素养上看,一定是前者高,一年一万,钱是少了点,但是自己辛苦所得,心安理得,警察也不会找你。

还是讨论数学。比如求几个相同加数的和的简便运算,就是乘法。2乘3和3乘2的含义是不一样的,前者是3个2相加,后者是2个3相加,虽然结果都是6,实际意义不同。数学来源于生活实际,并解决生活中的实际问题。

有人可能会提出疑问了,你说是欣赏对数,怎么半天还没有见到“对数”的影子,只见琵琶不露面。别急,还没到它出来的时候。

刚才讲到了乘法,求几个相同因数的积的简便运算,称为乘方,乘方的结果叫做幂。就是杨幂的“幂”,记做ax=N。其中a叫做底数,x叫做指数,N叫做幂,读作a的x次方等于N,或者a的x次幂等于N。

最开始的时候指数是正整数,为我们所普遍接受。在经历很长一段时间后,指数渐渐地扩充,从整数到分数,从有理数到无理数,一路狂奔,直到实数甚至是复数。

有了乘方运算,离对数就不远了。我们熟悉的是与乘方对应的是开方,实际上,在ax=N中有三个量,a、x、N。在有意义的前提下,已知a、x,求N,就是乘方;如果知道x(大于1的正整数)和N,求a,那就是开方了。

从实质上看乘方与开方是一样的,都是指数幂的问题,指数扩充之后,乘方和开方就没有本质的区别了,正如规定非零数的倒数是该数的负一次方后,除法就化归为乘法;减去一个数等于加上这个数的相反数,减法也就转化为加法。

许多的事情就是这样,看起来是对立的互逆运算,最后却走向了统一,正所谓天下大事,分久必合,合久必分,貌合也许神离,对立却会统一,有点哲学的味道。

有人说,数学是哲学的基础。柏拉图在他的学园入口写到:不懂几何者,禁止入内。柏拉图想告诉人们的是,不懂数学的,是很难进入哲学殿堂的。

从某种意义上来看数学是高冷和孤独的。高冷是大家的共识,孤独是人们普遍的印象。数学老师的悲哀就在于数学的孤独和高冷。因为我们一直在培养数学的敌人,使他们害怕数学、厌恶数学,对数学产生一种刻骨铭心的恨,最后和数学分道扬镳,只有少数人成为数学的朋友,不过在旁人看来不是天才就是疯子,要么是神经病。

而哲学是尴尬和忧郁的,这和哲学来源数学有关,没有数学的辅助,哲学就不可能达到理性的殿堂。stop,赶紧回来,有点跑偏了,这时候对数应该出场了。

还是ax=N中那三个量,如果知道a和N,求x的值,我们就把x叫做以为a底N的对数,记做x=logaN。

从这个角度来看,对数源出于指数,这是瑞士数学家欧拉在1770年出版的一部著作中提出来的。然而,请注意,对数的发明是先于指数的!

指数概念的明确晚于对数,直到1637年法国数学家笛卡尔才开始使用指数符号。而在此以前,苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化计算在1619年发表了《奇妙的对数定理说明书》,从而发明了对数。

对数的发明是数学史上的重大事件,天文学界几乎用近乎狂喜的心情迎接这一发明。18世纪法国大数学家、天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”。

恩格斯把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就,伽利略也说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。”

阿基米德有句名言:“给我一个支点,我可以撬动整个地球!”没有人能给他那个支点,而纳皮尔却给了伽利略发明了对数。

纳皮尔于1550年生于苏格兰的爱丁堡。他家是苏格兰的贵族,他13岁入圣安德卢斯大学学习,后来留学欧洲,1571年回到家乡。纳皮尔是一位地主,他曾在自己的田地里进行肥料施肥试验,研究过饲料的配合,还设计制造过抽水机。

纳皮尔的兴趣十分广泛,一方面热衷于政治和宗教斗争,一方面投身于数学研究。他在球面三角学的研究中有一系列突出的成果。研究对数的最初目的,就是为了简化天文问题的球面三角的计算,他也是受了等比数列的项和等差数列的项之间的对应关系的启发。

纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系:当第一组数按等差数列增加时,第二组数按等比数列减少。于是,后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和,建立起了一种简单的关系,从而可以将乘法归结为加法运算。

为此,纳皮尔画了两条线段,设AB是一条定线段,CD是给定的射线,令点P从A出发,沿AB变速运动,速度跟它与B的距离成比例地递减。同时,令点Q从C出发,沿CD作匀速运动,速度等于P出发时的值,纳皮尔发现此时P、Q运动距离有种对应关系,他就把可变动的距离CQ称为距离PB的对数。

对数这个词是纳皮尔创造的,原意为“比的数”,他把对数称为人造的数。

有趣的是同一时刻瑞士的一个钟表匠比尔吉也独立发现了对数,他用了8年时间编出了世界上最早的对数表,但他长期不发表它。有的人做有些事就是为了喜爱,和功名利禄无关,爱我所爱就够了。直到1620年,在开普勒的恳求下才发表出来,这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了。

纳皮尔的对数著作引起了伦敦的一位数学家布里格斯的注意,他于1616年专程到爱丁堡看望纳皮尔,建议把对数作一些改进,使1的对数为0,10的对数为1等等,这样计算起来更简便,也将更为有用。次年纳皮尔去世,布里格斯独立完成了这一改进,就产生了使用至今的常用对数。

发明对数后,纳皮尔说起了他当时的动机:“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头疼、更阻碍计算者的了。这不仅浪费时间,而且容易出错。因此,我开始考虑如何消除这些障碍。经过长期的思索,我终于找到了一些漂亮的简短法则……”

长期的思索,非常难得。如今还能有几个人保持思考的状态,还能有自己的思想。我思故我在,数学是思维的体操,而我们许多时候缺乏的就是思维,尤其是理性思维,很多时候连一点儿思考都没有,只有拼命地做题、刷题,不在题海里淹死,就在题海里呛死。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫真数,0.3010叫做假数,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改称假数为对数。

于是,对数就走大摇大摆地走进了数学,成为数学的骄傲。

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