第二章抓住特征研究整除
掌握分类熟练运用
这一章主要研究在整除的情况下，研究能被2、3、5整除数的特征；研究约数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、互质数、质因数、公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数的概念和性质；熟练地应用它们解题的技能和技巧。
第一节抓住整除概念弄清约数倍数
研究整除特征认识奇数偶数
一、什么叫整除？
整数a除以整数b(b≠0),除的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除或者说成b能整除a。如：
18÷6＝3，就是18能被6整除，或者说成6能整除18.
掌握以下四点：
1、被除数和除数（0除外）都是整数；
2、所得的商正好是整数
3、没有余数，即余数为0；
4、弄清整除与除的尽的区别；
二、什么叫倍数？什么叫约数？
如果说a能被b（b≠0）整除，a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或a的因素）。
如：15÷3＝5，15是3的倍数， 3是15的约数
掌握以下三点：
1、是在整除的情况下，研究倍数和约数的概念；
2、倍数和约数是相互依存的，不是单独存在的；
3、在研究倍数和约数时，一般指自然数，不包括0.
三..数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的 和与差 也能被c整除。
即：如果a能被c整除，b能被c整除，那么（a±b）能被c整除。
例如：如果10÷2=5，6÷2=3，那么（10＋6）能被2整除；
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc能被a整除，那么b能被a整除，c也能被a整除；
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积 能被a整除；
即：如果a能被b整除，a能被c整除，且b.c互质，那么a能被bc整除。
例如：如28÷2=14，28÷7=4，那么28能被（2×7）整除。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c÷b，b÷a，那么c÷a。
例如：如果9÷3=3，27÷9=3，那么27÷3=9。
四.数的整除特征
（1）能被2整除 的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.
如：10 ，52, 474， 26， 78……都能被2整除。
“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
（2）、什么叫偶数？什么叫奇数？
能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。
如：2，4，6，8，10，32,44,106,138…….都是偶数。
1, 3, 5 7, 9，11,23,65,107,429……都是奇数。
明确以下三点：
①换句话说，个位上是0.2.4.6.8的数叫偶数；偶数能被2整除；
②换句话说，个位上是1.3.5.7.9的数叫奇数，奇数不能被整除；
③因为0能被2整除，所以0也是偶数；
（3）能被5整除 的数的特征：个位是0或5。
如：10.、20、35、85、690…….都能被5整除。
（4）能被3（或9）整除 的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
153因为1+5+3=9,9能被3整除，所以153也能被3整除。
279因为2+7+9=18,18能被9整除，所以279也能被9整除
1248621各位上的数字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24， 24÷3=8，那么1248621能被3整除；
又如，372681各位上的数字之和是
3+7+2+6+8+1=27,27÷9=3，那么372681能被9整除；
（5）能被4（或25）整除 的数的特征：一个数，当且仅当它的末两位数能被4（或25）整除时，这个数便能被4或25整除
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.
173824的末两位为24,24÷4=6；则173824能被4整除；
43586775的末两位是75,75÷25=3，则43586775能被25整除；
（6）能被8（或125）整除 的数的特征：一个数，当今当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8（或125）整除时，这个数字能被8或125整除。
例如：32178000的末三位数字为0，这个数字能被8或125整除；
3569824的末三位数位824,824÷8=103，则，3569824能被8整除；
214813750的末三位数为750,750÷125=6，则，214813750能被125整除；
29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
（7）能被7.11.13整除 的数的特征：
一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7.11.13整除时，这个数就能被7.11.13整除。
例如：75523的末三位为523，末三位以前的数字所表示的数为75,523-75=448,448÷7=64，即448能被7整除，则，75523能被7整除；
又如，1095874的末三位为874，末三位以前的数字所表示的数为1095,1095-874=221,221÷13=17，即221能被13整除，则，1095874能被13整除；
再如：，868967的末三位为967，末三位以前的数字所表示的数为868,967-868=99,99÷11=9，即99能被11整除，则，868967能被11整除；
此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：
该数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例1：判断123456789这九位数能否被11整除？
解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除。
例2：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以0÷11=0.因此13574是11的倍数。
（8）能被7（11或13）整除 的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例1：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又777÷7=111，所以1059282能被7整除.因此1059282是7的倍数。
例2：判断3546725能否被13整除？
解：
把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又819÷13=63，所以2821÷13=217，进而354672能被13整除
第二节认识质数与合数掌握分解质因数
一、认识质数与合数、
1、写出下面每个数的所有的约数
1的约数有： 1 ； 7的约数有：1,7；
2的约数有： 1,2 ； 8的约数有：1,2,4,8；
3的约数有： 1,3 ； 9的约数有：1,3,9 ；
4的约数有： 1,2,4； 10的约数有：1,2,5,10；
5的约数有： 1,5 ； 11的约数有：1,11 ；
6的约数有： 1,2,3,6； 12的约数有：1,2,3,4,6，12；
2、观察上面各数的约数的个数：
1个约数的数有 ：1
有2个约数的数有 ：2，3，5，7，11
有2个以上约数的数有：4，6，8，9，10，12
3、什么叫质数？
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫质数（或素数）。
如：2，3，5，7，11……都是质数。质数的个数是无限的
4、什么叫合数？
一个数，除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫合数。
如：4，6，8，9，10……都是合数；
①合数的个数是无限的；
②1不是质数，也不是合数；
二、分解质因数
1、什么叫质因数？
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因素，叫做这个合数的质因数。
如：60=2×2×3×5，其中的2,2,3,和5叫做60的质因数。
2、什么叫做分解质因数？
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数
①把一个合数进行分解 ； ②每个因素一定是质数；
3、怎样分解质因数？
①把一个合数分解质因数，先用一个能够整除这个合数的质数去除；
②通常按2，3，5，7，11，13,19……的顺序去试除；
③得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；
④如果得出的商是合数，继续用质数除下去，直到得出的商是质数为止；
⑤最后，把所有的除数和商写成连乘的形式。
第三节公约数和最大公约数
一、认识公约数和最大公约数。
1、8和12各有哪些约数？它们的公约数是哪几个？最大的公约数是多少？
①8的约数有1,2,4,8 ； ②12的约数有1,2,3,4,6,12；
③它们的公约数有1,2,4； ④它们的最大公约数是：4；
2、什么叫公约数？什么叫最大公约数？
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大一个，叫做这几个数的最大公约数
3、什么叫互质数？
公约数只有1的两个数，叫做互质数。
如：8和9,7和11……叫做互质数
二、求最大公约数
1、求最大公约数的方法
求两个数的最大公约数，一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得到的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。
2∣12 2012和20的最大公约数是2×2=4
2∣ 6 10①一般先用2,3,5,7,11……去试除；
3 5②在除的过程中，有时也可以用两个数的公约数去除；
③除到所得到的商是互质数为止；
④最后，把所有的除数连乘起来的积，就是两个数的最大公约数
2、如果小数是大数的约数，那么小数就是这两个数的最大公约数。
如：4合8的最大公约数就是4.
3、如果两个是互质数，它们的最大公约数就是1
如：7和19的最大公约数就是1.
4、用“辗转相除”法，求两个数的最大公约数
①用小数去除大数； ②再用余数去除较小的数；
③这样辗转相除，直到余数为0为止；
④最后得除数就是这两个数的最大公约数；
如：求54和21的最大公约数
∣54 21∣
2 ∣42 12∣ 1
∣12 9∣
1 ∣9 9 ∣ 3
∣3 0 ∣
所以54和21的最大公约数是3
第四节公倍数和最小公倍数
一、认识公倍数和最小公倍数
1、分别顺次写出2和3的几个公倍数，它的公倍数是几个？其中最小的一个是多少？
①2的倍数有：2,4,6,8,10,12,14,16,18……
②3的倍数有：3,6,9,12,18……
③2和3的公倍数有：6,12,18……
④其中最小的一个是6
2、什么叫公倍数？什么叫最小公倍数？
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数；①几个数只有一个最小的公倍数 ②几个数没有最大的公倍数
二、求最小公倍数
1、求最小公倍数的方法
求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一只除到所得到的商是互质数为止，然后把所有的除数和商连乘起来；
如：24和72的最小公倍数是多少 ？
2∣ 24 72
2∣12 36
2∣6 18
2∣3 9
3∣1 3
24和72的最小公倍数是2×2×2×3×1×3=72
①先用这两个数公有质因数连续去除；
②一般采用2,3,5,7……去试除
③在除的过程中，有时也可以用两个数的公约数去除；
④必须出的所得到的商是互质数为止；
⑤最后，把除数和所得的商连乘起来的积，就是所求的最小公倍数。
2、求三个数的最小公倍数
如：求4、6和8的最小公倍数是多少？
2∣4 6 8
2∣ 2 3 4
1 3 2
4、6和8的最小公倍数是2×2×1×3×2=24
①先用三个公有的质因数去除；
②再用两个公有的质因数去除；
③在除的过程中，有时也可以用它们的公约数去除；
④必须出的所得到的商是互质数为止；
⑤最后，把除数和所得的商连乘起来的积，就是三个数的最小公倍数；
3、如果大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数。
如：12和6,12就是它们的最小公倍数，
4、如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数
如：7和9的最小公倍数为7×9=63
三、求最大公约数和最小公倍数的区别：
1、相同点：都是用短除法的形式分解质因数，直到商是互质数为止；
2、求最大公约数只把除数连乘起来
3、求最小公倍数把除数和最后的商连乘起来；
