上一篇中介绍了Bandit算法，并介绍了几种简单的实现，如 Epsilon-Greedy算法，Thompson sampling算法和UCB算法。
但是传统的实现方法存在很大的缺陷，主要是缺乏用附加信息刻画决策过程的机制。今天的文章就来介绍一种结合上下文信息的Bandit方法，LinUCB，它是Contextual bandits算法框架的一种。
本文的原文是雅虎的新闻推荐算法：https://arxiv.org/pdf/1003.0146.pdf。里面公式是真的挺多的，而且涉及到了两种linUCB算法，本文只介绍第一种方法。感兴趣的同学可以阅读原文。
LinUCB浅析
这里只简单介绍一下LinUCB算法的流程，真的是浅析，浅析！
在推荐系统中，通常把待推荐的商品作为MAB问题的arm。UCB是context-free类的算法，没有充分利用推荐场景的上下文信息，为所有用户的选择展现商品的策略都是相同的，忽略了用户作为一个个活生生的个性本身的兴趣点、偏好、购买力等因素，因而，同一个商品在不同的用户、不同的情景下接受程度是不同的。故在实际的推荐系统中，context-free的MAB算法基本都不会被采用。
与context-free MAB算法对应的是Contextual Bandit算法，顾名思义，这类算法在实现E&E时考虑了上下文信息，因而更加适合实际的个性化推荐场景。
在LinUCB中，每一个arm维护一组参数，用户和每一个arm的组合可以形成一个上下文特征（上下文特征的特征维度为d），那么对于一个用户来说，在每个arm上所能够获得的期望收益如下：
对于一个老虎机来说，假设收集到了m次反馈，特征向量可以写作Da(维度为md)，假设我们收到的反馈为Ca(维度为m1)，那么通过求解下面的loss，我们可以得到当前每个老虎机的参数的最优解：
这其实就是岭回归嘛，我们很容易得到最优解为：
既然是UCB方法的扩展，我们除了得到期望值外，我们还需要一个置信上界，但是，我们没法继续用Chernoff-Hoeffding Bound的定理来量化这个上界，幸运的是，这个上界已经被人找到了：
因此，我们推荐的item就能够确定了：
可以看到，我们在计算参数及最后推荐结果的时候，用到了以下几部分的信息：上下文特征x，用户的反馈c。而这些信息都是可以每次都存储下来的，因此在收集到了一定的信息之后，参数都可以动态更新，因此我们说LinUCB是一种在线学习方法。
什么是在线学习？个人简单的理解就是模型的训练和更新是在线进行的，能够实时的根据在线上的反馈更新模型的参数。
好了，我们来看一下linUCB算法的流程吧：
上面的ba可以理解为特征向量x和反馈r的乘积。
是否觉得一头雾水，不用着急，我们通过代码来一步步解析上面的流程。
2、linUCB代码实战
设定超参数和矩阵
首先我们设定一些超参数，比如α，正反馈和负反馈的奖励程度r1，r0，上下文特征的长度d
self.alpha = 0.25
self.r1 = 0.6
self.r0 = -16
self.d = 6 # dimension of user features
接下来，我们设定我们的几个矩阵，比如A和A的逆矩阵，b(x和r的乘积），以及参数矩阵：
self.Aa = {} # Aa : collection of matrix to compute disjoint part for each article a, d*d
self.AaI = {} # AaI : store the inverse of all Aa matrix
self.ba = {} # ba : collection of vectors to compute disjoin part, d*1
self.theta = {}
初始化矩阵
初始化矩阵对应上面的4-7步，A设置为单位矩阵，b设置为0矩阵，参数也设置为0矩阵，注意的是，每个arm都有这么一套矩阵：
def set_articles(self,art):
for key in art:
self.Aa[key] = np.identity(self.d) # 创建单位矩阵
self.ba[key] = np.zeros((self.d,1))
self.AaI[key] = np.identity(self.d)
self.theta[key] = np.zeros((self.d,1))
计算推荐结果
计算推荐结果对应于上面的8-11步，我们直接根据公式计算当前的最优参数和置信上界，并选择最大的arm作为推荐结果。代码中有个小trick，及对所有的arm来说，共同使用一个特征，而不是每一个arm单独使用不同的特征：
def recommend(self,timestamp,user_features,articles):
xaT = np.array([user_features]) # d * 1
xa = np.transpose(xaT)
AaI_tmp = np.array([self.AaI[article] for article in articles])
theta_tmp = np.array([self.theta[article] for article in articles])
art_max = articles[np.argmax(np.dot(xaT,theta_tmp) + self.alpha * np.sqrt(np.dot(np.dot(xaT,AaI_tmp),xa)))]
self.x = xa
self.xT = xaT
self.a_max = art_max
return self.a_max
更新矩阵信息
这对应于上面的12-13步，根据选择的最优arm，以及得到的用户反馈，我们更新A和b矩阵：
def update(self,reward):
if reward == -1:
pass
elif reward == 1 or reward == 0:
if reward == 1:
r = self.r1
else:
r = self.r0
self.Aa[self.a_max] += np.dot(self.x,self.xT)
self.ba[self.a_max] += r * self.x
self.AaI[self.a_max] = np.linalg.inv(self.Aa[self.a_max])
self.theta[self.a_max] = np.dot(self.AaI[self.a_max],self.ba[self.a_max])
else:
# error
写到这里，本来应该就要结束了，可是脑子里又想到一个问题，为什么可以直接通过加法来更新A矩阵？其实是个很简单的问题，试着写出A矩阵中每个元素的计算公式来，问题就迎刃而解了！
结语
总结一下LinUCB算法，有以下优点（来自参考文献3，自己又增加了一条）：
1）由于加入了特征，所以收敛比UCB更快（论文有证明）；
2）特征构建是效果的关键，也是工程上最麻烦和值的发挥的地方；
3）由于参与计算的是特征，所以可以处理动态的推荐候选池，编辑可以增删文章；
4）特征降维很有必要，关系到计算效率。
5）是一种在线学习算法。
参考文献
1、https://arxiv.org/pdf/1003.0146.pdf
2、https://zhuanlan.zhihu.com/p/35753281
3、https://blog.csdn.net/legendavid/article/details/71082124
4、https://zhuanlan.zhihu.com/p/32382432
