众所周知，时间序列的预测是需要假定在时间序列平稳随机过程的基础上，若为非平稳时间序列，容易造成对随机过程的伪回归，得到的回归函数及检验没有可信度，那么到底什么是平稳时间序列？什么是随机过程（白噪声）？
时间序列平稳性分为弱平稳和强平稳，弱平稳是序列的均值、标准差、协方差不随时间的变化而发生改变，强平稳则是序列的联合分布函数与时间的位移无关。
1.单变量平稳性及检验
我们预测时间序列一般都用序列本身存在的前后依附关系，这种关系是时间序列预测的基础，我们这里假设本期数值只与前一期相关（与前t期相关的类似），则平稳性的推导过程如下
所以当r小于1的时候，序列才为平稳序列，也称为随机游走过程，但这个至少均值还为零，是带漂移时间序列的特殊形式，那什么是带漂移序列，带漂移序列就是均值也随着时间t发生改变，即
但是也由上图第二个公式可知，一阶差分之后的（上面三角形加Yt）的均值和方差保持不变(因为Ut服从正态分布)
既然我们知道了什么是非平稳时间序列，那我们应该怎么检验呢？
答案是单位根检验
单位根检验由来
ADF检验是单位根检验的一种，也是比较常用的一种检验方法，是DF检验的优化，消除了序列的自相关性，内部使用为t统计量检验过程，若t大于临界值，则不能拒绝原假设r=1，序列非平稳，否则不能拒绝备泽假设，序列为平稳序列。
白噪声
纯随机过程，是由一个不相关的随机变量的序列构成的，即不存在自相关，协方差=0。对于一个随机过程来讲，如果期望和方差均为常数，则称该过程为白噪声过程。之所以成为白噪声过程是因为它和白光的过程有些相似，白光的光谱在各个频率上有相同的强度，在各个频率上面的值相同。所以白噪声序列一定是平稳的。
问题解答：
&白噪声和平稳性有什么区别？
这么说吧，白噪声一定是平稳序列，因为方差和均值都不随时间的变化而变化，且不存在自相关，平稳性呢是如果不平稳的话就进行差分，差分的时候是对xt=x（t-1）+u的序列方差和均值，但实际如果一介差分是平稳的话，我们实际用的数据是（xt-x（t-1））的差值这个序列，所以还要对这个序列进行白噪声检验，但也有人说白噪声的意义不大，还有我看一本书上面说，白噪声是检验数据有用的信息有没有被提取完毕，如果是白噪声，说明信息提取完毕，剩下的全是随机扰动，无法预测和使用；另一个版本的解释是，如果通不过白噪声检验就要对其进行自相关和偏自相关模型识别，即ARMA中的q.p，说明白噪声比平稳序列多一个不存在自相关，这个问题我也没找到官方的解答资料（所以不知道理解的对不对，欢迎大家指正）
&时间序列本身是与时间相关的，为什么又要求均值和方差与t不相关呢？
可以这么理解，时间序列中的数据点的位置依赖于时间，即数据的取值依赖于时间的变化，但不一定是时间t的严格函数，而且数据点和t相关不代表方差与t相关，因为方差代表了数据在其均值上的离散程度
2.多变量平稳性及检验
首先，我们看下上面这个回归模型，如果上面的模型合适，则u应该是平稳序列，则y对长期均衡关系的偏离是暂时的，即回归函数为长期均衡关系，相反，如果u为非平稳，则偏离会长时期不会消失，所以上面函数是否有价值，主要看u是否平稳
也许上面的几个解释变量都是非平稳序列，但是他们的线性组合也许是平稳的，这就是协整的理论思想
但是利用协整必须满足几个条件：（直接上图吧）
协整检验
利用残差平稳性检验，第一种是使用上面用到的ADF检验，但需要注意的是，协整检验的临界值不但与漂移项、趋势项有关，还与非平稳变量个数有关。我们一般用第二种DW检验，用协整回归得到的残差构造
实际上，多变量时间序列的协整就相当于是做回归，但是要看时序在回归上的可信度，对残差进行检验，判断变量间是否为长期的均衡关系，并且这个地方要注意，使用协整的条件，必须是几个变量为同阶差分。
最后说一个误差修正，因为长期关系的稳定关系一般都建立在短期动态的不断调整下得到并维持的，但由于变量的长期变量相互抵消，所以我们建立的模型看起来依然可信度高。那这个地方我们就要用误差修正模型来调节短期行为
误差修正过程：
首先建立长期关系模型，并使其得到平稳的残差序列，即模型合理。然后建立短期动态关系，即误差修正方程，将长期关系中的各变量差分之后重新构造，并将长期模型中的残差序列作为解释变量引入，对短期动态关系检验，逐项剔除，直到找到适合的方法为止
理论案例：（直接上图）
时间序列模型的建立过程：
首先，画出散点图观察并进行检验，检验序列是否是平稳序列，不平稳进行差分或者log变换，平稳则进行白噪声检验，没有通过白噪声的情况下就要进行模型识别，AR、MA和ARMA，确定后对模型的随机扰动项u进行检验，是否为白噪声序列，如果不是，则返回到前面，对模型重新识别。
