17-跳表:为什么Redis一定要用跳表来实现有序集合?

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链表加多级索引的结构,就是跳表。它是一种动态数据结构,可以支持快速的插入、删除、查找操作。

用跳表查询到底有多快?

这个时间复杂度的分析方法比较难想到。我把问题分解一下,先来看这样一个问题,如果链表里有 n 个结点,会有多少级索引呢?

按照我们刚才讲的,每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2,那第 k级索引结点的个数就是 n/(2^k)

假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 n/(2^h)=2,从而求得 h=log_2n - 1。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是 log_2 n。我们在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)

m 的值是多少呢?按照前面这种索引结构,我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点,也就是说 m=3。

所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说,我们其实是基于单链表实现了二分查找。

不过,天下没有免费的午餐,这种查询效率的提升,前提是建立了很多索引。

跳表是不是很浪费内存?

比起单纯的单链表,跳表需要存储多级索引,肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢?我们来分析一下跳表的空间复杂度。

假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8+…+8+4+2=n-2。所以,跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

上面都是每两个结点抽一个结点到上级索引,如果我们每三个结点或五个结点,抽一个结点到上级索引,是不是就不用那么多索引结点了呢?

下面我画了一个每三个结点抽一个做索引的示意图:

把每级索引的结点个数都写下来,也是一个等比数列。

n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n),但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法,要减少了一半的索引结点存储空间。

实际上,在软件开发中,我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时,我们习惯性地把要处理的数据看成整数,但是在实际的软件开发中,原始链表中存储的有可能是很大的对象,而索引结点只需要存储关键值和几个指针,并不需要存储对象,所以当对象比索引结点大很多时,那索引占用的额外空间就可以忽略了。

高效的动态插入和删除

实际上,跳表这个动态数据结构,不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作,而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。

我们知道,在单链表中,一旦定位好要插入的位置,插入结点的时间复杂度是很低的,就是 O(1)。但是,这里为了保证原始链表中数据的有序性,我们需要先找到要插入的位置,这个查找操作就会比较耗时。

对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。但是,对于跳表来说,我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 O(logn)。

再来看删除操作。如果这个结点在索引中也有出现,我们除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。当然,如果我们用的是双向链表,就不需要考虑这个问题了。

跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时,如果我们不更新索引,就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表。

作为一种动态数据结构,我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡,也就是说,如果链表中结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂度退化,以及查找、插入、删除操作性能下降。

红黑树、AVL 树这样的平衡二叉树是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡,而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。

当我们往跳表中插入数据的时候,我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢?

我们通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值 K,那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索中。

随机函数的选择很有讲究,从概率上来讲,能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性,不至于性能过度退化。至于随机函数的选择,我就不展开讲解了,有兴趣的话可以上网搜索一下。

开篇解答

为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合,而不是红黑树?

Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的,严格点讲,其实还用到了散列表。不过散列表我们后面才会讲到,所以我们现在暂且忽略这部分。如果你去查看 Redis 的开发手册,就会发现,Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个:

  • 插入一个数据;
  • 删除一个数据;
  • 查找一个数据;
  • 按照区间查找数据(比如查找值在 [100, 356] 之间的数据);
  • 迭代输出有序序列;

其中,插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作,红黑树也可以完成,时间复杂度跟跳表是一样的。但是,按照区间来查找数据这个操作,红黑树的效率没有跳表高。

对于按照区间查找数据这个操作,跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点,然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。

当然,Redis 之所以用跳表来实现有序集合,还有其他原因,比如,跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单,但比起红黑树来说还是好懂、好写多了,而简单就意味着可读性好,不容易出错。还有,跳表更加灵活,它可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。

不过,跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些,很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发的时候,直接拿来用就可以了,不用费劲自己去实现一个红黑树,但是跳表并没有一个现成的实现,所以在开发中,如果你想使用跳表,必须要自己实现。

小结

今天我们讲了跳表这种数据结构。跳表使用空间换时间的设计思路,通过构建多级索引来提高查询的效率,实现了基于链表的“二分查找”。跳表是一种动态数据结构,支持快速的插入、删除、查找操作,时间复杂度都是 O(logn)。

跳表的空间复杂度是 O(n)。不过,跳表的实现非常灵活,可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现并不简单,但是作为一种动态数据结构,比起红黑树来说,实现要简单多了。所以很多时候,我们为了代码的简单、易读,比起红黑树,我们更倾向用跳表。

课后思考

在今天的内容中,对于跳表的时间复杂度分析,我分析了每两个结点提取一个结点作为索引的时间复杂度。如果每三个或者五个结点提取一个结点作为上级索引,对应的在跳表中查询数据的时间复杂度是多少呢?

时间复杂度不变,依然是 O(logn)。

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