算法基础--递归和动态规划

本文主要作为自己的学习笔记,并不具备过多的指导意义。

暴力递归

  1. 把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题

  2. 有明确的不需要继续递归的条件

    base case


求n!的结果

非递归版本

从非依赖关系入手。明确的知晓n!=1×2×3×...×n,然后按照顺序编写算法即可

func getFactorial1(n : Int) -> Int {
    var res = 1
    for i in 1..<n+1 {
        res = res * i
    }
    
    return res
}

递归版本

从依赖关系入手。n已知,尝试解决(n-1)!

func getFactorial2(n : Int) -> Int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    return n * getFactorial2(n: n-1)
}

汉诺塔问题

打印N层汉诺塔从最左边移动到最右边的全部过程

每次一个,不能打压小只能小压大

image

在第N层的问题上,需要完成以下三个状态:

第N层的完成依赖N-1的完成,而第N-1层的完成又依赖N-1层的完成。

image
/// 移动1-N层汉诺塔
///
/// - Parameters:
///   - n: 需要移动到的层数
///   - form: 从哪根开始
///   - to: 从哪根结束
///   - help: 空那根
func hanoiGame(n : Int ,form :String ,to :String ,help :String) {
    if n == 1 {//只移动第一层,直接移动即可
        print("Move 1 from " + form + " to " + to)
    }else {
        hanoiGame(n: n-1, form: form, to: help, help: to)  //将第 1到n-1 层移动到 中间
        print("Move \(n) " + "from " + form + " to " + to) //将第 n 层移动到 最右
        hanoiGame(n: n-1, form: help, to: to, help: form) //将第 1到n-1 层移动到 最右
    }
}



hanoiGame(n: 3, form: "左", to: "右", help: "中")
//打印
Move 1 from 左 to 右
Move 2 from 左 to 中
Move 1 from 右 to 中
Move 3 from 左 to 右
Move 1 from 中 to 左
Move 2 from 中 to 右
Move 1 from 左 to 右

打印字符串能组成的所有字串

输入abc
打印:abc,ab,ac,a,bc,b,c

将字符串转化成数组,每个位置都有两个选择:打印&&跳过。以此递归

代码

func printStr(str :String) {
    printAllSub(str: wordToArr(word: str), i: 0, res: "")
}

func printAllSub(str :[String] ,i :Int ,res :String) {
    if i == str.count {
        print(res)
    }else {
        printAllSub(str: str, i: i+1, res: res+str[i]) //打印当前位置
        printAllSub(str: str, i: i+1, res: res) //不打印当前位置
    }

}

func wordToArr(word:String) -> Array<String> {
    var res : [String]
    res = Array.init()
    if word.count == 0 {
        return res
    }
    let string = (word as NSString)
    for i in 0..<string.length {
        res.append(string.substring(with: NSMakeRange(i, 1)))
    }
    
    return res
}


母牛数目问题

有一头母牛,它每年年初生一头小母牛。每头小母牛从第四个年头开始,每年年初也生一头小母牛。请编程实现在第n年的时候,共有多少头母牛?

当思维不够直观的时候,不妨列举一下试试查找规律

image

F(N) = F(N-1) + F(N-3)

第五年 = 第四年存活的 + A与第二年出生的B所生的两个

需要注意:如果N-3为负数则不用计算,只计算母牛自己生的一个即可

func func(n : Int) -> Int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    if n - 3 <= 0 {
        return func1(n: n-1) + 1
    }else {
        return func1(n: n-1) + func1(n: n-3)
    }
}

二维数组--从左上角到右下角最大值

只能向右或向下走

经典的动态规划题目,但我们可以先从递归做起

/// 二维数组--从左上角到右下角最大值
///
/// - Parameters:
///   - matrix: 二维矩阵
///   - x: x轴坐标
///   - y: y轴坐标
/// - Returns: 当前点到右下角最小距离
func walk(matrix : [[Int]] ,x :Int ,y :Int) -> Int {
    if (x == matrix.count-1) && (y == matrix[0].count-1) { //已经到最后
        return matrix[x][y] //返回当前节点
    }
    
    if x == matrix.count-1 {  //已经到x轴末尾
        return matrix[x][y] + walk(matrix: matrix, x: x, y: y+1) //当前节点+y轴下一位
    }
    
    if y == matrix[0].count-1 { //已经到y轴末尾
        return matrix[x][y] + walk(matrix: matrix, x: x+1, y: y) //当前节点+x轴下一位
    }
    
    //当前节点+min(x轴下一位,y轴下一位)
    return matrix[x][y] + min(walk(matrix: matrix, x: x+1, y: y), walk(matrix: matrix, x: x, y: y+1))
}

暴力递归的弊端

第一次进入walk(0,0)时,将会递归调用蓝色位置walk(1,0)walk(0,1)

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而在进入walk(1,0)时,又将递归调用walk(2,0)walk(1,1)
并且进入walk(0,1)时,又将递归调用walk(0,2)walk(1,1)

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此时walk(1,1)将会执行两次,其之后的递归计算也指数级的重复。

这就是动态规划的意义,解决暴力递归重复执行的缺点进行优化


动态规划

所有的动态规划,都是从暴力递归尝试优化(减少重复计算)而来

面试中,对于一个没有见过的动态规划。我们可以先写出一个递归的尝试版本,在验证正确性之后尝试改成动态规划。

递归方法的后效性

如上文中所提到的暴力递归的弊端一样:有些暴力递归会存在重复状态,并且这些重复状态的结果与到达其的路径无关(状态的参数确定,返回值则确定)。

什么样的问题可以改成动态规划

对于无后效性递归,可以改成动态规划的版本。

也有反例:比如汉诺塔问题,每一步打印都会对整体的打印结果造成影响。就叫有后效性递归,无法进行动态规划。

无后效性递归如何改成动态规划的通用方法

二维数组--从左上角到右下角最大值题目为例:

  1. 分析可变参数,建立状态表

    以每个状态的return结果建立一个二维数组。

  2. 找到自己需要的最终状态位置(0,0)


    image
  3. 回到base case 中,对不被依赖的位置进行设置


    image
  4. 对普遍位置进行设置


    image
  5. 最终得到目标位置


数组中元素是否能组成指定的和

先写一个正常的暴力递归尝试版本,与之前打印字符串能组成的所有字串的问题基本一致

/// 数组中元素是否能组成指定的和
///
/// - Parameters:
///   - arr: 数组
///   - i: 当前位置
///   - sum: 已经求的和
///   - aim: 目标和
/// - Returns: 结果
func isSum(arr :[Int] ,i :Int ,sum :Int ,aim :Int) -> Bool {
    if i == arr.count { //数组末尾已经尝试结束
        return aim==sum //直接比对
    }
    
    let useC = isSum(arr: arr, i: i+1, sum: sum+arr[i], aim: aim) //尝试添加当前位置
    
    let unuseC = isSum(arr: arr, i: i+1, sum: sum, aim: aim) //不添加当前位置
    
    return useC || unuseC
}

如何转变成动态规划

  1. 简化表达式,并建立动态规划表

    只有两个可变参数,可以简化成F(i,sum)

    DP表的设计行为sum(最后一位为所有元素之和),列为i。
    在代码上,将作为一个二维数组存在


    image
  2. 确定目标位置


    image
  3. base case中找到不被依赖的位置
    只有在F(N,Aim)时,aim==sum才会返回true

    image

  4. 对普遍位置进行设置
    某一个位置F(i,sum1)的状态依赖于F(i+1,sum1)F(i+1,sum1)+arr[i]
    F(i+1,sum1)+arr[i]又作为新的sum值Sum2存在于DP表内。
    两个位置有一个为Aim,则将返回true

    image

  5. 推回到最初位置


参考资料

左神牛课网算法课

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