近世代数理论基础7:同余式·中国剩余定理

同余式·中国剩余定理

同余式

定义:给定整系数多项式f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,则称同余方程f(x)\equiv 0(mod\; m)为模m的同余式,若a_n\not\equiv 0(mod\; m),则称它为n次同余式

a\in Z,满足f(a)\equiv 0(mod\; m),则\forall b\in Z,b\equiv a(mod\;m),b也满足f(b)\equiv 0(mod\; m),因而称x\equiv a(mod\; m)为该同余式的一个同余解

定理:一次同余式ax\equiv b(mod\; m),a\not\equiv 0(mod\; m)有解\Leftrightarrow$$(a,m)|b,若有解,则有(a,m)个同余解

证明:

若ax\equiv b(mod\; m)有解

设x\equiv x_0(mod\; m)为其一个解

则ax_0\equiv b(mod\; m)

即\exists k\in Z使ax_0=b+km

\because (a,m)|a,(a,m)|m

\therefore (a,m)|(ax_0-km)

即(a,m)|b

若(a,m)|b,设b=(a,m)c

则\exists s,t\in Z使得

as+mt=(a,m)

asc+mtc=b

即a(sc)\equiv b(mod\; m)

从而x\equiv sc(mod\; m)

为同余式ax\equiv b(mod\; m)的解

下证(a,m)|b时,同余式ax\equiv b(mod\; m)恰有(a,m)个解

设x\equiv x_0(mod\; m)是其一个同余解

则\exists k\in Z使得

ax_0=b+km

若x\equiv \bar{x}(mod;m)为任一同余解

则\exists\bar{k}\in Z使得

a\bar{x}=b+\bar{k}m

\therefore a(\bar{x}-x_0)=(\bar{k}-k)m

若令d=(a,m)

则有a=a_1d,m=m_1d,(a_1,m_1)=1

a_1(\bar{x}-x_0)=(\bar{k}-k)m_1

(a_1,m_1)=1\Rightarrow a_1|(\bar{k}-k)

令\bar{k}-k=k_1a_1

则\bar{x}=x_0+k_1m_1=x_0+k_1{m\over d}

即同余式的任一解均可表成x_0+k_1{m\over d}(k\in \Z)

显然,\forall k_1\in \Z,x\equiv x_0+k_1{m\over d}(mod\; m)均为同余式

ax\equiv b(mod\; m)的解​

故同余式的解均有上述形式

但在模m的意义下

仅有d=(a,m)个不同的同余解

x_0,x_0+{m\over d},a_0+2{m\over d},\cdots,a_0+[(a,m)-1]{m\over d}\qquad\mathcal{Q.E.D}

中国剩余定理

定理:设m_1,m_2,\cdots,m_r\in N,且两两互素,则同余式组\begin{cases}x\equiv b_1(mod;m_1)\\ x\equiv b_2(mod\;m_2)\\ \cdots\\ x\equiv b_r(mod\;m_r)\end{cases},模M=m_1m_2\cdots m_r有唯一同余解

证明:

令M_i=m_1\cdots m_{i-1}m_{i+1}\cdots m_r=M/m_i

\forall i\neq j,(m_i,m_j)=1

\therefore \forall 1\le i\le r,有(M_i,m_i)=1

\therefore \exists s_i,t_i,使M_is_i+m_it_i=1

令N_i=M_is_i

下证x\equiv N_1b_1+N_2b_2+\cdots+N_rb_r(mod\;M)为同余式组的解

\forall j\neq i,有m_i|M_j

\therefore N_j\equiv 0(mod\;m_i)

\therefore N_i\equiv 1(mod\;m_i)

\therefore \forall 1\le i\le r,有N_1b_1+N_2b_2+\cdots+N_rb_r\equiv b_i(mod\;m_i)​

即N_1b_1+N_2b_2+\cdots+N_rb_r为同余式组的解

再证同余解的唯一性

设x_1,x_2均为同余式组的解

则x_1\equiv x_2(mod\;m_1),x_1\equiv x_2(mod\;m_2),\cdots,x_1\equiv x_2(mod\;m_r)

\because m_1,m_2,\cdots,m_r两两互素

\therefore [m_1,m_2,\cdots,m_r]=m_1m_2\cdots m_r=M

\therefore x_1\equiv x_2(mod\; M)\qquad\mathcal{Q.E.D}

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