CS224W-图神经网络 笔记2.1:Properties of Networks and Random Graph Models - 图的四大属性

本文总结之日CS224W Winter 2021只更新到了第四节,所以下文会参考2021年课程的PPT并结合2019年秋季课程进行总结以求内容完整
课程主页:CS224W: Machine Learning with Graphs
视频链接:【斯坦福】CS224W:图机器学习( 中英字幕 | 2019秋)

1 引言

初步了解一个人,我们通常会问其身高、年龄、体重等信息。那么,要了解一个图Graph我们需要关注哪些信息呢?这就是本节讨论的内容。

2 图的四大属性

通常我们会从下面四个方面去初步理解一个图:

  1. 度分布(Degree distribution) P(k)
  2. 路径长度(Path length) h
  3. 聚类系数(Clustering coefficient) C
  4. 连通分量(Connected components) s

下面依此来看

2.1 度分布(Degree distribution)

定义:统计每个节点的度,然后计算不同的度数在所有节点中出现的频率。从图上看起来更直观。

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2.2 路径长度(Path length)

需要了解三个概念:路径、距离、直径

    1. 路径:是一串彼此相连的节点组成的链。如:P_n = {i_0, i_1, i_2,...,i_n}, 注:一个条路径中的某点看可以出现多次!
    1. 距离(Distance):两点之间的最短路径shortest path,称为两点之间的距离注:
    1. 对于有向图,一条路径的边一定要从左到右
    1. 若两点之间不直接或间接相连则距离为无穷大.
  • 如下图中的XA点之间距离

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  • 直径:图的中任意两点之间距离最大值,称为图的直径

    但直径并不是很好用,考虑到一个很扁的图很圆的图可能具有形同的直径。说白了就是容易受极端值影响。通常采用平均距离。

    • 计算时忽略不相连的两点间距离,因为无穷大。
    • 直径也适用于刻画图的某个连通分量(connected components)的直径。
  • 平均距离Average path length:所有两点之间距离加总,除以所有两点的组合数。

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2.3 聚类系数(Clustering coefficient)

  • 定义:是用来描述一个图中的某节点与其相连节点之间聚集成团的程度的一个系数。它只定义在无向图上。计算方法如下:
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截屏2021-02-01 下午3.28.33

实际上就是算节点i与邻居构成实际组成的三角形数除上最大可能三角形个数。翻译成人话就是 我的朋友之间相互认识情况。

  • 平均聚类系数:所有节点的聚类系数取平均就得到。

2.4 连通分量(Connected components)

  • 连通分量:图中的一个子图,子图中任意两点之间都存在路径,子图内节点和子图外的节点都没有路径。

    • 任何连通图的连通分量只有一个,即是其自身。
    • 非连通的无向图有多个连通分量。
如何找到连通分量?

通过广度搜索算法(BFS):

  • 随机选择一个节点作为起点,进行广度优先搜索;
  • 将广度优先搜索经过的节点进行标记;
  • 如果所有的节点都进行了标记,则该图是一个连通图;
  • 如果存在未标记的节点,从未标记的节点中随机选择一个节点作为起点进行广度优先搜索;重复第2步和第4步,直至所有节点都标记完毕;最后得到的多个连通子图中对的极大连通子图就是该图的连通分量。

3 MSN Messager网络

老师通过MSN(类似QQ的聊天软件)上一个月的对话活动构建的网络,这本身是个Multigraph 包含180M的用户(节点),两类边:是否好友、是否聊过天(可多次)。

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通过简化,将用户之间有过聊天简化成无向图。共180M节点,1.3B边。这个MSN网络的4大属性如下:

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通过属性说明了什么呢?

  1. 度分布,均值14.4,说明平均每个人和14.4个人聊天
  2. 聚类系数,均值0.11,平均每个人聊天过的朋友中,只有11%的朋友会彼此聊天。
  3. 连通分量,最大联通分量覆盖99%的节点,强连通,绝大部分人都生活在一个大群体中。
  4. 路径长度,均值6.6,平均两个人之间通过7个人就能聊上天;最大值30,意味任意两个人能认识最多通过30个人就能实现。

4 下文预告

得到图的四个维度属性后,怎么评价这个网络呢?到底处在什么水平?

就好像评价看一个人是高还是矮,我们是拿自己或他人作为参照,得出结论。那么对于网络我们也需要一个参照,这就是下面要谈的随机网络模型

5 参考文章

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