高德拉特难题：悬赏5000美金的一道作业排序问题
高德拉特曾经悬赏5000美金的一道作业排序问题，如何使产出最大化？你能做出的最多产品是多少？
该产品工艺流程如图，成品由4个零部件组成，每个零部件都需要经过一定的加工流程，具体需要使用的设备和时间在图中有标注，其中1-10，1-20表示第一个零件的第1和第2道工序，A、B和C表示三台加工设备，即资源。A、B和C后边的数字表示这道工序需要的时间，单位为分钟（如图6-102所示）。
任务：
在8周内生产尽可能多的产品，用甘特图表示出在8周之内对每台设备的作业排序。
最低要求：
1）任何时候WIP的原料价值不能超过50 000美元
2）每周至少生产140件成品，前四周至少共生产680件成品
限制条件：
1）A、B和C设备各一台。
2）一台设备从一个工序转换到另一个工序需要60分钟的切换时间，最开始生产时也需要60分钟的切换时间。
3）8周内，每周工作5天，每天24小时工作不间断。
4）原材料供应没有限制。
5）8周内系统没有初始库存。
为了计算WIP原料和完成的零件库存，假定它们的价值均为100美元。一旦4个零部件组成一套到达装配线，就马上组装运走。原材料和成品的价值不包括在库存计算里面。
内容摘要：你可以使用精益生产、TPS、流水线生产或者其他任何理论来进行解答。这里介绍的是TOC制约理论的解答方法。基本逻辑是瓶颈决定系统的产出，所以按照TOC制约理论的聚焦五步骤中的前三步，找到瓶颈，挖尽瓶颈和迁就瓶颈来优化瓶颈和非瓶颈工序的排产，使得产出最大化。找到瓶颈，然后确定瓶颈可以开始的最早时间和结束的最晚时间，再减去最小切换次数n所花费的时间，剩余的时间就是瓶颈用于生产的最大时间，对应的数量就是可以产出最大的成品数量。在排产时要考虑各种约束条件，然后确定最小的切换次数，这是这道题的关键，切换次数越少，瓶颈可以生产的数量越多。增加批量，从而减少瓶颈的切换次数，可以增加瓶颈用于生产的时间；而非瓶颈的切批可以用来迁就瓶颈，使瓶颈不挨饿，从而增加有效产出。
第一步，找到瓶颈。4个零部件都需要A、B和C三个资源进行加工，每件成品都需要这4个零部件，且每个零部件需要1个。因为要求生产尽可能多的成品，并且8周内没有初始库存，所以这4个零部件的数量应该相同。生产一个成品需要资源A花费29分钟（5+7+3+8+1+5=29），需要资源B花费34分钟（3+15+3+11+2=34），需要资源C花费33分钟（3+2+20+5+3=33）。因为每个成品需要资源B的时间最多，所以B是瓶颈（如表6-13所示）。
第二步，挖尽瓶颈。挖尽瓶颈的意思就是尽可能的让B的时间用在生产上，因为每次从1种操作换到生产另一种操作需要60分钟的切换时间，同一种零件不同工序之间也需要切换时间，切换次数越多，花费的时间越多，所以要尽可能减少切换的次数。
1）4种零件的生产顺序确定
资源B先生产哪一个零部件呢？
因为没有在制品，并且资源B在4个零件生产中都不是第一道工序，需要等待其他工序生产完一个在制品时，资源B才能开始生产。
在1#零部件流程中，B资源每件需要3分钟，而A资源需要5分钟，A资源的速度慢于B资源，B资源会挨饿，会有很多等待时间，所以不应该选择先生产1#零部件。在2#零部件生产中，资源B需要15分钟，资源A需要11分钟，资源C需要2分钟，资源B最慢，是瓶颈，不会挨饿，但是资源A从2-20向2-30切换还需要60分钟，2#零部件备选。3#零部件流程中，资源B需要14分钟，资源C需要20分钟，资源C慢于资源B，资源B会挨饿，不选。4#零部件流程中，资源B需要2分钟，资源C需要3分钟，资源C慢于资源B，资源B会挨饿，不选。所以选择2#零部件作为开始。
2#零部件最先生产，接下来应该生产哪个零件呢？2-40中B资源需要15分钟，4-30中B资源需要3分钟，共需18分钟。在2-10中C资源需要2分钟，4-10中C资源需要20分钟，瓶颈前C资源需要22分钟，大于B资源在2#和4#中的时间，B资源需要等待或者切换生产4-40，这样都会浪费时间。如果把3#放在2#和4#之间，瓶颈B在2-40，3-30和4-30共花费21分钟，而资源C在2-10，3-10和4-10共花费25分钟，因为C在3#零件花费3分钟多于瓶颈B在3#零件花费的2分钟，所以将3#零件放到2#和4#之间，瓶颈B更容易挨饿。应该将资源C在瓶颈前花费比瓶颈花费时间少的放到2#和4#之间，也就是1#，这样4个零件的顺序就确定了，顺序为2#-1#-4#-3#。
画出4种零件的工序图，这样会利于分析，这种图有些类似于TOC制约理论中的关键链（如图6-103所示）。
2）生产批量的确定
在4种零件的生产中，有6个工序需要资源A的操作，有5个工序需要瓶颈B的操作，有5个工序需要资源C的操作，那么完成一个或一批成品，资源A需要最少切换6次，瓶颈需要5次，资源C需要5次。
在要求中，在制品的价值不能超过5000美元，每个在制品价值100美元，那么在制品就不能超过5000/100=500个。在制品包括正在生产的零件和已完成的零件，4种零件各完成一个，就可以组装成1个成品运走，在制品就减少4个。为了挖尽瓶颈使得瓶颈尽可能的将时间用于生产，就需要减少瓶颈的切换次数，那么切换5次是最少的。
每一周要求有140个成品产出，那么可以大概计算一下每周极限可以生产多少个成品。一周工作5天，每天24小时，每小时60分钟，共5×24×60=7200分钟，减去资源B的5次换线，7200-5×60=6900分钟。假设这些时间资源B都可以用来生产，那么最多可以生产6900/34=202.9个成品。
因为要求每周最少产出140，所以选择140个作为批量，批量越大，在制品越多，越容易超过500个在制品限制。
既然选择了140个每批，那么这四种零件生产数量怎么确定呢？前3个零件每种先生产140个，然后3#零件生产80个，这样在制品正好500个，没有超过限制。在3#零件中，资源B不是瓶颈，而在4种零件总的生产中资源B又是瓶颈，那么资源A和资源C就有时间先生产80个3#零件，防止资源B生产3#零件时挨饿。当资源B在2#，1#和4#零件中均有60个以上的完成品时，它切换生产3#零件，每生产1个3#就可以组装成一个成品运走，在制品减少4个，此时资源A和资源C就可以开始生产剩余的60个3#零件了。
3）瓶颈的尽早开始
可以做一个表格，用来计算资源做了什么，什么时候开始的以及花费了多久的表格，这样就可以在时间轴上画出来。也可以用于绘制甘特图，开始时刻和持续时间是绘制甘特图需要的数据，前3列是辅助列，可以在甘特图的坐标轴里显示（如表6-14所示）。
在资源C加工2#零件的过程中，因为2-10是第一道工序，不受其他工序生产的制约，所以资源C从0时刻起开始换线，持续60分，在60分钟时换线完成。时间累积=本行的开始时间+持续时间=下一行的开始时间，在制作EXCEL时，填写持续时间后，时间累积和开始时间是自动计算出来的。在换线完成后，资源C在工序2-10从60分钟这个时间点开始生产140个零件，每个2分钟，花费时间=140×2=280分钟，所以持续时间是280分钟，时间累积=60+280=340。然后花费60分钟换线到4-10，生产140个4#零件，花费时间140×20=2800分钟。
2#零件的生产流程为2-10(C2)—2-20(A3)—2-30(A8)—2-40(B15)，在资源C换线时，资源A和B也开始换线。当资源A完成一个2-10工序的零件时，资源A就可以开始生产了，资源A在3分钟后加工完1个2-20的零件，然后经过60分钟换线，2-30就可以开始生产了。资源A在8分钟后加工完1个2-30的零件，瓶颈B就可以开始生产了，瓶颈B在工序2-40加工需要15分钟。这样瓶颈B在133分钟就可以开始生产了（如表6-15所示）。
此时资源A花费60分钟切换到2-20，花3分钟完成2-20第2个零件的生产，然后花费60分钟切换到2-30，花8分钟完成2-30第2个产品的生产，在264分钟时资源B可以开始第2个产品的生产了。但是资源B从133分钟开始生产2-40的第一个零件，在148分钟时已经完成了。而第二个零件需要在264分钟才能开始，资源B等待了116分钟，大于一次切换的60分钟，这种等待是不经济的。
那么资源A每批生产多少个，资源B才不会挨饿呢？这是一个TOC切批的问题，非瓶颈的切批来减少瓶颈资源的等待，从而使瓶颈尽早开始生产。假设资源A每批生产x个，那么第一批2-20需要花费3x分钟，2-30需要花费8x分钟。资源B在第一批2-30生产完一个就可以开始生产，如果第二批的2-30的第一个完成时间小于B加工上一批的时间，那么B就不会挨饿（如图6-104所示）。
即8x+60+3x+60≤15x，得到x≥30。当资源A每批生产30个时，资源B就不会挨饿，资源A和资源B生产每批的时间相等。
如果140个都以30个每批进行生产，那么资源A和资源B在差不多时间完成2#零件的加工，也在差不多时间开始1#零件的加工。而在1#零件中，资源A在1-10上每个需要5分钟，资源B在1-20上需要3分钟，资源A慢于资源B，那么资源B在1#零件的加工上还需要等待，应该尽可能减少资源B的等待，才能使产出增加。
在2#零件中，资源A需要增加每批的数量，那么增加到多少合适呢？
我们假设将140个零件分成2批加工，第一批为x个，第二批为140-x个，资源B完成x个的时间要大于第一批2-30中的8x加上2次切换时间，再加上第二批2-20种的3(140-x)的时间，即8x+60+3(140-x)+60≤15x，得到x≥54。第一批54个，第二批140-54=86个（如图6-105所示）。
如果140切换成3批，那么资源B是否还可以提前生产呢？设第一批为x，第二批为y，则第三批为140-x-y。这样会产生2个不等式。资源A生产第一批2-30的时间，加上切换时间，加上第二批2-20的时间要小于等于资源B加工第一批的时间，即8x+3y+120≤15x。资源A生产第一批2-30的时间，加上切换时间，加上第二批2-20的时间，加上第二批2-30的时间，加上第三批2-20的时间要小于等于资源B加工前两批的时间，即8x+3y+120+8y+120+3(140-x-y)≤15(x+y)。这样，就产生了2个不等式
8x+3y+120≤15x
8x+3y+120+8y+120+3(140-x-y)≤15(x+y)
得到x≥35.7，y≤43.3，取整数，x=36，y=43，即第一批36个，第二批43个，第三批140-36-43=61个（如图6-106所示）。
在A资源生产2#零件时，将140分成3批，第一批36个，资源A换线60分钟，等待C加工一个2分钟，然后加工36×3=108分钟，换线到2-30需要60分钟，在2-30加工完1个需要8分钟，此时瓶颈B开始生产，瓶颈B不会挨饿而加工完140个2#零件。瓶颈B开始时间为60+2+108+60+8=238分钟。
2#零件还可以切成更多的批次，从而提高瓶颈的开始时间吗？这个是可以做到的。切成2批时，第一批54个，切成3批，第一批36个。批次越多，第一批越少，资源B可以开始的时间越早，但是我们前边计算了，当每批为30个时，瓶颈刚好不挨饿，也就是30个每批是最小批量，考虑到在下一个零件中，资源A速度慢于资源B，如果批量过小，资源B和资源A几乎同时完成2#零件，那么下道零件中，资源B还需要等待，所以将2#零件切成3批是相对合理的。
4）瓶颈时间的计算
在计算出资源B的开始时间，就可以对资源B进行排产了。资源B从0时刻开始，等待238分钟后开始在2-40工序加工140个，耗时210分钟，然后换线到1-20工序加工140个，耗时420分钟，然后换线到4-30工序加工，耗时420分钟，以此类推（如表6-16所示）。
由于有在制品500个的限制，3#零件需要分成80和60两批进行生产，而瓶颈在3#零件中最快，可能会有等待时间，如果有的话，调整一下3#零件即可。
第三步，迁就瓶颈。因为瓶颈的产出决定系统产出，资源B是瓶颈，所以应该尽可能将时间用于生产，非瓶颈资源A和C需要迁就瓶颈，使得产出最大化。因为资源C每个需要33分钟，而资源A需要29分钟，资源C需要的时间更多，灵活性更小，那么在资源A和资源C上，优先给资源C排产，资源A适当迁就资源C。资源A和资源C先满足瓶颈B不挨饿，然后剩余时间再去做瓶颈后边的工序。
5）非瓶颈时间的计算
资源A总的顺序是2-20—2-30—1-10—4-20—1-30—3-20，而资源C总的顺序是2-10—4-10—3-10—1-40—4-50，因为需要迁就瓶颈，有时等待时间较长，可以切换去生产其他工序，保证瓶颈不挨饿即可。
资源A完成1-10的时间是1962分，下一个工序它要去生产4-20，由于这个工序每个它只需要1分钟，那么加上切换60分钟，它的结束时间是1962+60+1×140=2162分。但是它是4-10的后一道工序，4-10在2800分完成，资源A不可能在资源C之前完成4-20，那么它要么需要等待资源C，要么可以切换去生产其他工序。还有另外一个限制，就是它不能让瓶颈在4-30工序挨饿。那么资源A应该在4-20处生产多少个，然后切换去生产其他工序呢？假设资源A在4-20处生产x个，那么资源C从4-10工序开始生产x个的时间要小于资源A从4-20开始生产x个的时间，资源C从400分钟开始生产，资源A从2722分钟开始生产，即400+20x＜2722+x，得到x=116.1个。那么资源A可以在工序4-20先生产110个，然后切换去生产1-30。资源A需要在瓶颈B完成100个4-30前切换回来，提前生产4-20，防止瓶颈B挨饿。资源B从2878分开始在4-30工序加工4号零件，加工100个需要300分钟，即在2878+330=3208分时加工完成，资源A需要在3208前切换回来生产4-20防止瓶颈挨饿，加工1个4-20需要1分钟，那么资源A最晚切换时间是3207。资源C在3200分钟完成4-10的加工，那么资源A最早可以在3201分钟时完成剩余的40个的加工，资源A开始时间=3201-30×1=3171分，再减去切换的60分钟为3171-60=3111分。那么资源A切换回来的最早时间是3111，最晚时间是3207分。那么资源A在1-30可以生产多长时间呢，3207-2892=315分，315/7=45，可以取40个，那么资源A完成40个时间是2832+40×7=3172，小于3207。然后切换到4-20需要60分，生产剩余的40个需要分钟。然后可以切换到1-30生产剩下的100个，切换60分钟，生产700分钟，完成1-40的生产是4022分（如表6-17所示）。
此时资源C已经在3500分时完成了80个3-10的加工，资源A可以切换到3-20完成这80个的加工，切换到3-20花费60分钟，花费80×5=400分钟，那么在4022+60+400=4482分完成，资源A还剩60个3-20没有加工（如表6-18所示）。
资源A完成3-20的时间4482早于资源B开始3-30的时间4958，资源B可以先生产3-20生产完的80个零件。
资源C在完成3-20的80个生产后可以切换到1-40去生产，它生产140个1-40需要420分钟，那么结束时间是3500+60+420=3980分，但是资源A完成1-30的时间是4022，资源C不能在4022分前完成，资源C理论上可以在4022+3=4025分完成。4025-3980=45分，45分钟小于60分钟的切换时间，切换是不经济的，那么资源C先完成一部分，然后等待45分钟，再完成下一部分。资源C完成100个1-40需要300分钟，完成时间是3560+300=3860分。要验证3860分前资源1-30是否已完成了100个1-30。资源A第二批从3322分开始，第一批已完成40个，那么完成60个需要多久呢？3322+60×7=3742，即资源A在3742分完成100个1-30，那么资源C在3860完成100个1-40就是可行的（如表6-19所示）。
资源C接下来切换到4-50来生产4#零件，4#零件完成4-50需要4025+60+140×5=4785分，早于4-11的4898分，所以资源C不能连续加工，需要等待或换线。而在3#零件的生产中，资源B速度最快，为了防止资源B挨饿，那么需要资源C切换去配合资源B的生产。但是有在制品500个的限制，只有资源B生产完1个3-30，就可以合成一个成品，从而减少4个在制品。所以在资源B生产完1个3-30，资源C就可以开始生产了。资源B完成第一个3-30的时间是4958+2=4960分，此时资源C就可以开始加工了。资源B在工序4-40完成时间是4898分，而资源C在4-50最快可以4898+5=4903完成。那么资源C在4-50可以分成2批，然后等待一段时间，接着完成下一批。设第一批是x，资源C开始时间是4085，资源B开始时间是3358，得到4085+5x>3358+11x，得到x=121.2，去x=120。那么完成120的时间是4085+120×5=4685，最快完成时间是4903，减去剩余20个的时间，再减去4685，就是要等待的时间4903-20×5-4685=118，资源C在4-50完成140个时间是4903，切换到3-30需要60分钟，完成3-30剩余60个需要180分钟，这样资源C的生产排序就完成了（如表6-20所示）。
资源C在4963在3-10开始3#零件开始剩余的60个的加工，加工完第一个的时间是4963+3=4966分，此时资源A可以开始生产3#零件剩余的60个了，完成时间为4966+60×5=5266分。这样资源A的排产就计算完了（如表6-21所示）。
在3#零件的生产中，资源B不是瓶颈，它的开始时间是4958分，而在3-30完成需要2×140=280分，结束时间是4958+280=5238分。而3-30是3-20的后道工序，不能先于3-20的结束时间5266分，那么资源B可以完成的最早时间是5266+2=5268分，5268-5238=30，资源B需要等待30分，所以资源B的排产也就算好了（如表6-22所示）。
甘特图的绘制
1、在EXCEL中，用鼠标选择好计算的数据，然后在功能区中选择“插入→条形图→堆积条形图”，
2、双击图表中的“开始”系列，弹出“设置数据系列格式”对话框，可右击该系列，在快捷菜单中选择“设置系列格式”。
3、在对话框中选择“填充”选项，选择“无填充”。
4、这时“开始”系列即变为透明，由于纵坐标轴中各项目名称的排列顺序与数据区域中的相反，似乎与习惯不符，可通过下面的方法来改变该顺序。选择“垂直(类别)轴”，对话框标题自动变为“设置坐标轴格式”，在“坐标轴选项”中勾选“逆序类别”，即可。
资源B第一批140个需要5268分钟（如图6-107所示）。
资源C第一批140个需要5143分钟（如图6-108所示）。
资源A第一批140个需要5266分钟（如图6-109所示）。
下一批次的优化
第一批中瓶颈B等待了238分钟，而资源C在第一批有45+118+(5268-5143)=288分钟空闲，资源A有484分钟空闲。可否利用资源A和资源C提前生产，从而使瓶颈B不需要等待呢？
那么假设资源A和资源C在2#零件先生产了x个，那么剩余140-x个，此时A，B和C同时换线开始生产第二批。资源A在2-20生产剩余的140-x加上60分钟换线加上2-30的第一个的时间应该小于资源B生产x个的时间，即
3(140-x)+60+8<15x，得到x>27.1。
另外，资源B在2-40，1-10和4-30的时间是21分钟，而资源C在2-10,和4-10上的时间是22分钟，资源C慢于瓶颈B，需要考虑瓶颈挨饿问题。假设先生产了x个，那么得到
2(140-x)+60+20×140<15×140+60+3×140+60+3×140，得到x>40
所以在以140为批量时，上一批资源C和资源A可以提前生产大于40个2#零件，资源B就不会在下一批次时挨饿。为了计算方便，取x=45个。
由于C资源在第一批1-40和4-50时均有等待，可以先切换去下一批2-10生产45个，切换+45个时间为60+45×2=150分钟，1-40和4-50的等待是45+118=163分钟，大于150分钟，所以上一批的这个空闲就足够完成下一批2-10的45个加工（如表6-23所示）。
按照资源C优化的数据，更新资源C的甘特图（如图6-110所示）。
资源A在这一批有484分钟等待，可以在为下一批2-20和2-30加工30个，30个大于27.1，这样瓶颈就不会在下一批的2-40挨饿（如表6-24所示）。
按照资源A优化的数据，更新资源A的甘特图（如图6-111所示）。
在下一批的生产中，资源B不需要等待就可以加工，那么资源B下一批次需要的时间是5268-238+60=5090分钟。
在下一批生产中，资源C需要换线6次，140个成品需加工的时间为140×33-90=4530分钟，总时间是4530+60×6=4890分钟。上一批次中资源C比资源B先结束，节省5268-5143=125分，这批次资源C比资源B少5090-4890=200分钟，200+125=325分钟大于需要为下一批2#零件2-10生产45个花费的时间45×2+60=150，所以资源C在这一批还可以为下一批做准备。
资源A在第一批空闲时间是484分钟，为下一批2#零件在工序2-20和2-30准备了30个完成品，使得资源B在第二批不会挨饿，而资源A在第二批次的生产中，不需要再2-20和2-30之间来回切换，这样会节省4次换线时间为240分钟，而资源A每个零件需要29分钟，资源B需要34分钟，资源A会在下一批次生产中有大于240+484=724分钟以上的空闲，可以为下一批生产做准备，从而使瓶颈在下一批不挨饿。
每一批资源A和资源C在为下一批做准备后还有剩余时间，这些时间可以积累增加，使得瓶颈在未来的批次生产中不挨饿。
8周最多可以生产多少个？
生产第一批140个需要5268分钟，以后的每批140个需要5090分钟。8周总时间为8×5×24×60=57600分钟，那么140个每批可以生产多少批呢？57600-5268=52332/5090=10.28批，即5268的1批，5090的10批，共可以生产11批140个，剩余的时间还能生产多少个呢？57600-5268-10×5090=1432分钟，每完成一批，资源B需要5次切换，剩余时间可以用于生产，那么1432-5×60=1132，每个成品需要34分钟，那么1132/34=33.3。8周最多可以生产140×11+33=1573个。
题目要求前4周每一周有140个成品，前四周不少于680个。这个需要验算一下，每周均有140个成品，4周成品700个。比如在第三周时，第三批的完成时间15448和第四批的完成时间20538都包含在第三周内，那么第三周的完成数量就是280个（如表6-25所示）。
这道题不仅使用了TOC聚焦五步骤的前三步，也使用了集批和切批的技术。聚焦五步骤的前三步是短期方法，后两步是长期方法，这道题没有TOC理论的瓶颈思想是没办法解题的，精益思想，流水线以及丰田生产方式对于这道题是不能得到最优解的，因为它们没有聚焦瓶颈的思想，而瓶颈决定系统的产出。在集批和切批中，集批是为了减少瓶颈的切换次数，从而增加产出数量，而切批是为了非瓶颈配合瓶颈，使得瓶颈不挨饿。
140个每批是否是最优批量呢？因为在140个每批的生产中，瓶颈在3#零件的生产中等待了30分钟，如果除了第一批，以后每批以125个批量来生产呢？因为在制品限制是500个，4种零件均有125个在制品可以减少资源A和C的切换次数，并且资源B不需要等待了，那么生产125个每批的时间是多少呢？125×34+5×60=4550分钟，生产第二批140的时间是5090，哪一种速度更快呢？4550/125=36.4>36.3=5090/140，每批140的产出速度比每批125要快。比140个每批更大的更好吗？因为有500个在制品的限制，所以对于140个每批采用的是4种零件开始的生产量是140×3+80，然后再生产60个的方法，零件80和60之间需要瓶颈等待，如果批量增加到150个，那么就是150×3+50+100的方法，50和100之间的等待会加长。批量大小可以增加，等待时间也会增加，这个可以通过计算来获得最佳批量。
这道题的排产可以得到几个规律，1）切换时间是不能用于生产的，那么切换时间越少越好。总切换时间=切换次数×单次切换时间，TOC通过减少切换次数来减少总切换时间；TPS通过减少每次切换时间来减少总切换时间，即快速换模技术。2）瓶颈的集批是为了减少切换次数，从而增加瓶颈的生产时间，非瓶颈的切批是为了迁就瓶颈，使瓶颈不挨饿。3）先给瓶颈排产，非瓶颈迁就瓶颈，使瓶颈不挨饿。4）非瓶颈和瓶颈均需要考虑限制因素，不能先于前道工序完成。
摘自《可以量化的管理学》
