记一个问题:自然数的最廉价可分解表达

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这个问题源自最近在设计的一套协议,用在一个分布式系统中。


首先,我们将有序数列\{b_i\}(有限或无限都可以)称为是一个“表达基”,只要求对任意b_i都满足b_i>0

接着,我们将一个有序数列\{a_i\}称为是数N的一个“表达”,如果满足N = \sum_i a_i b_i

进一步,我们可以称一个表达是“自然表达”,如果对其中的任意b_i都是自然数。

如果一个自然表达\{a_i\}与另一个自然表达\{b_i\}(两个表达可以不是同一个数的表达)满足\forall i : a_i \le b_i,则称前者是后者的一个子自然表达。

接着,我们可以定义一个表达\{a_i\}的权重为w = \sum_i |a_i|

好了,下面就是问题了:

选定表达基为b_i = p^{i-1},其中p是素数。则,任意自然数N都有一组自然表达X,使得任意小于N的自然数都存在至少一个自然表达Y,且Y是X的子自然表达。现在,请给出这样的表达集\{X\}中权重最小的那个表达。

上述集合被称为N的“可分解表达”,而权重最小的那个就是N的“最廉价可分解表达”。


首先,上面提到的表达集肯定是存在的,因为必然存在一个“平庸的”满足条件的表达:\{a_i|a_1=N,a_{>1}=0\}

这个表达显然地满足条件,但显然地权重太大。

为了找到足够廉价的表达,一个可行的方案是这样的:

首先,找到比N小的最大的可以表达为m p^n-1,m<p形式的数,记为n,称为N的“表达主部”,而N-n就是N的“表达余部”。

接着,将主部和余部都用p进制表示(不是现代数学中的p进数),接着把这两个表示直接当做表达,再加在一起,就构成了一个“足够廉价”的表达了。

这样的表达被称为N的“足够廉价可分解表达”。

比如说,我们取p=2,那么8的足够廉价可分解表达就是{211},很显然,1到7都可以用这个表达的子表达来表达,比如7={111},6={011},等等。

要证明足够廉价可分解表达满足要求是很简单的,因为很容易证明以下两点:

  1. 假定m是比N小的自然数,m的一个表达是N的可分解表达的子表达,将两个表达的对应元素相减,得到的还是这个可分解表达的子表达,且表达了自然数N-m。
  2. N的表达主部的p进制表示对应的表达,其中总存在至少一个子表达可以表达任意一个小于主部的自然数。

第二点表明了,所有小于主部的数都存在一个表达是主部表达的子表达。而第一点则表明,只要1到N的一半的自然数可以用N的表达的子表达表达,那么剩下的一半也可以。

所以,足够廉价可分解表达肯定是满足题意要求的表达。

下面的问题只有一个:足够廉价可分解表达是不是最廉价可分解表达呢?

个人认为应该是的,但还没法证明。

主要是,主部的部分当然是没问题的,余部用p进制表示来表达后,当然也是权重最小的,但两个加起来后是不是最廉价,还真不好说。


这个问题可以用在什么地方?

地方很多啊,比如还是现金时代,金额怎么用钞票来表达,就会遇到这个问题:在不找零的情况下,掏出多少纸币给对方能让对方用起来最方便?

当然,估计也没多少人会在意这个细节问题吧。。。

在分布式系统中,这个问题就有了很多可以发挥作用的地方,这里就不细说了。

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