数据结构(一):二叉树

定义

二叉树( binary tree )是有限节点集合构成的结构,其结构的递归定义为:

  • 三个不相交的节点集合构成,一个作为根节点,一个节点集构成的二叉树作为根节点的左子树,另一个节点集构成的二叉树作为根节点的右子树
  • 当节点数为零时,表示二叉树为空

所以节点个数为零的空树也是二叉树,二叉树根节点的左、右子树也是二叉树,其结构同样符合以上定义,当左子树为空树时,表示根节点没有左子节点。且二叉树区分左、右子树,以下两个二叉树为不同的二叉树。

one
another one

结构特性

首先说明下几个概念:

  • 根节点: 没有父节点的节点;
  • 叶子节点: 没有子节点的节点;
  • 节点的度 :节点的分支个数,二叉树每个节点的分支个数为 0~2;
  • 路径:连接节点和后代子节点之间的不重复边;
  • 节点的深度:从根节点到该节点的路径长;
  • 节点的高度:从该节点到叶子节点的最大路径长;
  • 节点的层数:父节点的层数加一;
  • 树的高度:根节点高度。
  • 树的深度:叶子节点深度的最大值。

关于高度和深度的起始值 0 或 1 的个人看法:

对于深度、高度和层数的起点值,可能有些地方基数是从1开始计算的。对于这个起点值的设置,个人觉得如果你高兴,从10086开始也无妨,因为在应用中,这些数据量只是为了方便计算,起作用的只是相对值而已。

为了方便理解,这里设置基数为0,深度可以认为是从水平面,也就是0深度,往下有几层,深度就是几;高度类似理解,地平面是0,往上有几层,高度就是几。

参考下图:

图片来源:What is the difference between tree depth and height?


满二叉树、完全二叉树、完美(理想)二叉树

关于完全二叉树和满二叉树的定义,因为最初翻译的不同,已经混淆很久了,所以已经属于一个历史问题了。这里尽量不去分辨哪一种定义是正确的,只按照个人的理解去描述。

  • 满二叉树( Full Binary Tree ):
    每个节点的度为 0 或 2,即除了叶子节点,每个节点都有两个子节点。

示例:

Full Binary Tree
  • 完全二叉树( Complete Binary Tree ):
    除深度最大的一层外,其他每层上的节点都是填充满的,且深度最大的一层节点分布从左向右是连续无间隔的。

示例:

Complete Binary Tree
  • 完美/理想二叉树( Perfect Binary Tree ):
    除叶子节点外,每个节点度都为 2,且叶子节点在同一层。

示例:

Perfect Binary Tree

以上概念参考:


二叉树数据量

下面介绍二叉树几个数据量之间的关系,变量声明如下:

d:树的高度
n:节点总数
n_0:度为 0 的节点个数,即叶子节点个数
n_1:度为 1 的节点个数
n_2:度为 2 的节点个数
l_i:第 i 层上节点个数

  • 完美二叉树中,第 d 层上节点个数为:l_d=2^{d}
    proof:
    1.第 0 层上,只有根节点,所以 0 层节点个数为:l_0= 2^0 ;
    2.每层节点度都为 2 ,所以下一层的节点个数为:l_i=l_{i-1}*2
    3.所以第 d 层节点个数为:l_d= l_{d-1}*2=l_0*2^{d}

  • 深度为 d 的完美二叉树,节点总数为:n=2^{d+1}-1
    proof:
    1.每层的节点个数 \{l_i\} 构成等比数列,公比为: q=2
    2.第 0 层节点个数 l_0=1,所以总节点个数为:n=l_0 \frac {1-q^{d+1}}{1-q}=2^{d+1}-1

  • 深度为 d 的完美二叉树,非叶子节点和叶子节点的个数有:n-n_0=n_0-1,节点总数与叶子节点个数有:n=2*n_0-1
    proof:
    深度为 d 的完美二叉树,则 d 层节点即为叶子节点,即:l_d=n_0,由以上结论可知,深度为 d 的完美二叉树,叶子节点个数为 l_d=2^{d},总节点个数为 n=2^{d+1}-1,所以非叶子节点个数为:n-n_0=n-l_d=2^{d+1}-1-2^{d}=2^{d}-1=n_0-1,即:n-n_0=n_0-1n=2*n_0-1

  • 对于普通的非空二叉树,叶子节点个数 n_0 与度为 2 的节点个数 n_2 关系为:n_0=n_2+1
    proof:
    1.设度为 1 的节点个数为 n_1,则节点总数 n=n_0+n_1+n_2
    2.设二叉树中边的个数为 e,有如下关系:
    【1】树中除根节点外,每个节点都存在该节点到其父节点的一条边,即除根节点外,每个节点都对应着一条边,则有关系:e=n-1
    【2】树中每个节点度,表示该节点的子节点个数,也表示着该节点对应的边的个数,则有关系:e=n_1+2*n_2
    根据【1】【2】可知,有关系:n-1=n_1+2*n_2,根据 1 中 n=n_0+n_1+n_2,则有: n_0+n_1+n_2-1=n_1+2*n_2,即:n_0=n_2+1,二叉树中叶子节点个数为度为 2 的节点个数加 1。

github 链接:二叉树

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