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算法4（Algorithms4）- Part 1 动态连通性（Dynamic Connectivity）2
8. 应用场景
- 渗析模型（Perocolation）
- 围棋
- 动态连通性
- 最近祖先寻找问题
- 有限状态机的等效问题
- Matlab中处理图像的bwlabel()函数
...
9. 渗析模型（Percolation）
9.1 什么是渗析模型（Percolation）
一个在许多物理系统中都有应用的模型。
- N * N 个方格构成的正方形
- 每个方格有 p 的概率是开放的（open）（或者有 1-p 的概率是闭合的（blocked））
- 当且仅当顶部和底部被开放的方格连起来的时候，系统是连通的（percolates）
Percolates
| 模型 | 系统化 | 开放的格子 | 闭合的格子 | 连通 |
|---|---|---|---|---|
| 电学 | 电学材料 | 导体 | 绝缘体 | 导电 |
| 液体流通 | 材料 | 无液体 | 有液体 | 渗漏 |
| 社交关系 | 人群 | 人 | 空 | 有共同好友 |
9.2 连通的概率
取决于方格为空的概率 p。
PercolatesOrNot
当N很大时，理论证实存在一个陡峭的临界点p*。
- p > p*: 基本确信连通
- p < p*: 基本确信不连通
问题： p的值是多少？
9.3 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation）
- 初始化一个有N * N个方格的正方形，其中所有方格均是闭合的（blocked）
- 不断随机选取方格，让其开放（open），直到顶部和底部连通停止
- 通过开放的方格数估计p*
9.4 通过动态连通性（Dynamic Connectivity）方法估计连通阈值（percolation threshold）
怎么检测一个 N * N的系统是连通的呢？
- 为每个方格创建一个实例节点，编号从0到N-1
- 如果开放的方格之间有“通路”，说明它们处于同一个分量（Component）（此处参见上一篇文章）
- 当且仅当顶部方格和底部方格支架有通路时，系统连通（暴力算法调用N ^ 2次connected()方法）
一个小技巧：创建两个虚拟的节点，分别连接顶部所有节点和底部所有节点。
-
当虚拟顶部节点和底部节点连通时，整个系统连通（这种情况只需要调用1次connected()方法）
怎么模拟开放一个新节点？
改变此节点的状态；该节点和相邻的节点中（共4个）开放的节点相连
连通阈值（percolation threshold）
连通阈值p* 是多少？
根据大量的仿真实验得出p* 大约为0.592746。
好的算法是 可以 对科学问题得出较为精确的答案。
9.5 编程作业（Programming Assignment - Percolation）
其中要求实现Percolation.java 和 PercolationStats.java 两个文件。
实现这两个文件之后，打包提交到系统中，系统会对两个文件进行详尽的测试，之后给出分数。
Percolation.java 的 API
具体方法的作用
| public class Percolation | |
|---|---|
| public Percolation(int n) | 创建一个有 n * n 个节点的阵列，每个节点都是封闭的 |
| public void open(int row, int col) | 如果节点(row, col)未打开，将其打开 |
| public boolean isFull(int row, int col) | 判断节点(row, col)是否是满的（即与顶部连通） |
| public int numberOfOpenSites() | 已经打开的节点数量 |
| public boolean percolates() | 整个系统是否连通 |
PercolationStats.java 的 API
具体方法的作用
| public class PercolationStats | |
|---|---|
| public PercolationStats(int n, int trials) | 在 n * n 个节点的阵列上进行trial次独立重复实验 |
| public double mean() | 测试用例连通阈值（percolation threshold）的平均值 |
| public double stddev() | 连通阈值的平均差 |
| public double confidenceLo() | 计算结果95%置信区间的左边界 |
| public double confidenceHi() | 计算结果95%置信区间的右边界 |
通过这些方法能解决的问题
- 方格为空的概率p的值
- 渗析模型（Percolation）中连通阈值（percolation threshold）95%置信区间的范围
- 测试结果的平均差从而得知计算的稳定性
...
关于作业，此处不再详述，因为后面会给出代码，代码中有详细的注释。
可参见参考网址中课程作业的地址，其中有详细要求，作业代码的实现也一并在参考网址中给出。
10. 本节课的言外之意
逐渐实现一个可用的算法步骤：
- 对问题建模
- 找出一个能解决它的算法
- 这个算法足够快吗？内存占用如何？
- 如果答案是否的话，找出原因
- 找到解决方法
- 不断迭代上述步骤，直到满足要求
参考网址
[1] 课程作业 （Assignment - Percolation）
[2] 作业的一个实现
[3] 课件下载（Lecture Slides）
