求素数个数

我最近在leetcode上撸了一个小算法,虽然已经工作了五年,当看到每次代码提交后排名的提升,内心依然很有成就感。题目比较简单,求小于n的素数个数,素数也叫质数,具有以下特点:

  • 正整数
  • 只能被1和本身整除
  • 1既不是素数也不是合数,所以最小的素数是2

根据上面的特点,我们还可以推断出:

  • 除了2,其它的素数都是奇数

依据这一点,我们可以写出下面的实现:

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n < 3) {
            return 0;
        }
        int count = 1;// 2
        for (int i = 3; i < n; i += 2) {
            // 只判断奇数是不是素数
            boolean isPrime = true;
            for (int j = 3; j * j <= i; j += 2) {
                // 奇数不可能被偶数整除,所以只试除奇数
                if (i % j == 0) {
                    isPrime = false;
                    break;
                }
            }
            if (isPrime) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
}

j * j <= i相当于j <= Math.sqrt(i),但速度会快一点,那为什么只需要判断到√i呢,因为对于一个非素数(合数),其最小约数(除1外)必小于等于其平方根。

设k为最小约数
这个实现被Accept了,但时间复杂度较高,排名也很靠后。这个算法中,判断一个奇数i是不是素数,是通过试除小于等于√i的奇数来实现,这会有重复计算的场景,比如3和9,5和15,根据素数和合数的特点,可以推断出任意一个合数都可以分解成几个素数的乘机,所以我们可以通过试除小于等于√i的素数来判断i是不是素数,素数相对于奇数,无疑减少了很多判断次数。

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n < 3) {
            return 0;
        }
        int count = 0;
        int[] primes = new int[n / 2];
        for (int i = 3; i < n; i += 2) {
            // 只判断奇数是不是素数
            boolean isPrime = true;
            for (int j = 0; j < count && primes[j] * primes[j] <= i; j++) {
                // 只试除素数
                if (i % primes[j] == 0) {
                    isPrime = false;
                    break;
                }
            }
            if (isPrime) {
                primes[count++] = i;
            }
        }
        return count + 1;// 2
    }
}

效果好了一些,但这个实现时间复杂度依然很高,比试除法更高效的是筛选法,筛选法的策略是将素数的倍数全部筛掉,剩下的就是素数了,下图很生动的体现了筛选的过程:
埃拉托斯特尼筛法

筛选的过程是先筛掉非素数,针对本文的题目,每筛掉一个,素数数量-1即可,上面说过素数的一个特点,除了2,其它的素数都是奇数,所以我们只需在奇数范围内筛选就可以了。

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n < 3) {
            return 0;
        }
        int count = n / 2;// 筛掉一半偶数
        boolean[] notPrime = new boolean[n];
        for (int i = 3; i * i < n; i += 2) {// 只筛3≤i<√n奇数
            if (!notPrime[i]) {        
                // 筛掉素数的奇数倍数
                for (int j = i * i; j < n; j += 2 * i) {// 从i*i开始筛
                    if (!notPrime[j]) {
                        notPrime[j] = true;
                        count--;
                    }
                }
            }
        }
        return count;
    }
}
示例 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 备注
i=3 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 3->9,15,21,27
i=5 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 5->25

对于一个奇数i,会依次筛掉i*i,i(i+2),i(i+4),i(i+6)…i(i+2n),那么为什么不筛3i,5i,7i…(i-4)i,(i-2)i呢,因为他们已经被筛过了,当我们要筛掉奇数i的倍数时,那么i之前的奇数(i-2,i-4…7,5,3)的倍数((i-2)i,(i-4)i…7i,5i,3i)已经被筛掉了,这个算法的效果还不错。

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