定义 1
a，b 为整数，如果 ,
，a 必定能整除 b， 记为
(读作 a 整除 b)。
定理 1
假设 ，且
, 则任何
都有
。
证明过程:
由 可知, 存在
使得
;
两边乘以 c 得到 ，
，
所以 。
定理 2
如果 且
，那么必有
。
证明过程:
由 可知，存在
使得
;
由 可知，存在
使得
；
进而得到 , 又
,
所以 。
定理 3
如果 且
，则任何
都使得
。
证明过程:
由可知，存在
使得
；
由可知，存在
使得
；
进而 ，又
，
所以 。
定义 2
能同时整除非零整数 a，b，且为其中最大的数是这两个数的最大公约数(greatest common divisors)，记为 。
公理 1
两数互质，其最大公约数必为 1。
定理 3
定理 5
能整除两数之差，必定与两数有相同的最大公约数。即
证明过程:
由 可知必定存在 :
，
使得：
由此可知, 当 r 等于 0 时，
当 r 大于0 时，，
假设 , 则有
定理 5
假设 a，b 均为非0整数。以a 为被除数 ，b 为除数相除，求余得 r；用除数作为下一轮的被除数, 用余数作为下一轮的除数求余，以此类推；直到求出最后一个不为0的余数，即为 a，b的最大公约数。
