群论 | 群论在物理上的三大应用

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三金姐姐drydry
2019.03.18 18:14* 字数 1629

群的概念引发自多项式方程的研究,由埃瓦里斯特·伽罗瓦在18世纪30年代开创。在数学中,群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构,包括阿贝尔群、同态和共轭类。

就科学内容而言,群论属于数学范畴,在许多数学分支中都有它的应用。它还被广泛用于物理、化学及工程科学等许多领域,尤其是物理学成为受惠最多的学科。从经典物理中对称性和守恒律的研究到量子力学中角动量理论及动力学对称性的探索再到同位旋、超荷和SU(3)对称性在现代基本粒子物理中的应用等无不闪耀着群论思想的光辉。 群论是用来研究系统对称性的数学工具,这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群,就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程,与微分方程的解密切相关。

在物理上,置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群,二维旋转群,三维旋转群以及和四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。

群论在物理学上的研究主要体现在以下三个方面:

1.几何晶体学的发展

晶体点阵、点群、空间群这些概念的诞生以及他们在晶体学中的应用。这个主要发展时间是 19 世纪末,20 世纪初,代表人物是熊夫利(Schöneflies,德国犹太人)、赫尔曼(Hermann,德国人)、毛古因(Mauguin,法国人)。

群是按照某些规律相互联系的元素的集合。在晶体对称理论中,群的元素是对称操作。

DEF

1.点阵:晶体粒子所在位置的点在空间的排列。

2.点群(对称类型):晶体中所含有的全部宏观对称元素至少交于一点,这些汇聚于一点的全部对称元素的各种组合。

3.空间群:晶体内部结构中全部对称要素的集合 。

NAT

1.布拉菲空间点阵只存在14种。

2.前述旋转及旋转一反演对称操作所可能有的三维空问点群共有32种。

3.一切晶体结构中总共只能有230种不同的对称要素组合方式,即230个空间群。

自然界中晶体结构的类型很多,却只可能有14种布拉维格子。群论的引入,使得我们迅速得到一种晶体的所有对称性及这种对称性而得到的宏观物理性质。现实应用中,常从新材料具有哪些对称操作来初步得到材料的物理性质。

2.对称性与守恒量之间的关系

代表人物是诺特(Noether,女士,德裔犹太人),诺特是一位德国女数学家。诺特定理是艾米•诺特在1918年首先发现的,主要阐述了物理定律对称性与物理量守恒定律的对应关系,因此被称为“诺特定理”。诺特定理的基本内容是“any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”,也可以说是任何一个保持拉格朗日量不变的微分算符,都对应一个守恒的物理量。包括空间平移对称性对应动量守恒、时间平移对称性对应能量守恒、旋转对称性对应角动量守恒,等等。 [1]

物理学中将运动规律的不变性称为“对称性”。在经典的物理学中,主要涉及的是与时间和空间变换相关的对称性。Jacobi等首先注意到经典力学中体系的守恒量与对称性的联系。Noether将变分原理应用到物理学中,证明了Noether定理:对于自然界中每一种对称性,必存在一个相应的守恒定律;反之,对于每一个守恒定律,必对应有一种对称性。

3.量子力学

代表人物是维格纳(Wigner,匈牙利犹太人)。他也因为这方面的研究获得了1963年的诺贝尔物理奖。他的获奖原因,原话是“for his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles”。Wigner 有一本书,叫《Group theory and its applications to the quantum mechanics of atomic spectra》,1931 年写的。也就是在这个之后,在物理学问题的研究中使用对称性的知识彻底地成为了一种思维。 [2]

群论是量子力学的基础。从群论的角度解决一些量子力学问题,主要包括哈密顿算符的对称性,距阵元定理和选择定则。运用群论的方法研究量子系统的对称性,可以不通过求解运动方程得到系统许多普遍的精确的性质。

群论方法的特点在于,只要依据的对象的对称性质是严格的,则由它得出的结论必定是精确的、可靠的;特别适当研究者对研究对象不是很了解时,通过对其对称性的分析可以得出一些带普遍性的结论。[3]

参考文献:

[1]马中骐, 戴安英, 马中骐,等. 群论及其在物理中的应用[J]. 理论物理室, 1988.

[2]朱尧辰. 物理学中的群论[J]. 国外科技新书评介, 1998(11):3-3.

[3]张强. 基于群论的对称性与守恒律的新表述[J]. 成都航空职业技术学院学报, 2003(1):11-16.

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