从一个最简单的例子开始吧。

我们来做几个小学生的加法题。8 ＋ 9 等于多少？0.8 ＋ 0.9 等于多少？在 Chrome 里面简单用 Javascript 这门语言简单测试一下，我们得到的结果是：
8 ＋ 9 ＝ 17
0.8 ＋ 0.9 ＝ 1.7000000000000002。
是的，你没有看错，计算机给出了 1.7000000000000002 这个答案。难道计算机错了吗？

计算机错了，又没错。为什么呢？因为计算机是用二进制来表示这些数字的，有很多数在计算机里面是没法精确表示的。先来看看什么是二进制。

十进制、二进制

我们都知道，计算机只能懂 0 和 1，也就是说计算机里面所有的数字，都是二进制形式的。那么一个普通的数字，用二进制的形式究竟该如何表示呢？譬如：

• 78 如何使用二进制表示？

对于正整数，数学上有一个转换的公式，就是「除 2 取余，逆序排列」法。具体做法是：用 2 整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用 2 去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为 0 时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。对于 78 这个十进制整数来说，对应的二进制是 1001110.

• 0.5 如何使用二进制表示？

对于纯小数，也有一个固定的转换法：乘 2 取整，顺序排列。具体做法就是：用 2 乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用 2 乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，此时 0 或 1 为二进制的最后一位。对于十进制的 0.5 来说，对应的二进制表示就是 0.1

• 8.5 如何使用二进制表示？

好了，有零有整的小数，在计算机里面怎么表示呢？可能大家已经知道了，分成整数和纯小数两部分，分别转换，然后相加起来。那么 8.5 的二进制形式可以表示为：1000.1

好了，这是基础，后面的内容就开始慢慢接近计算机的工作模式了。

二进制能准确表示十进制数字吗

首先看这个问题：

• 0.1 这个小数，用二进制该如何表示

按照前面的转换规则，我们先看看看 0.1 怎么表示：
0.1 ＊ 2 ＝ 0.2 －－－－ 0 （1）
0.2 ＊ 2 ＝ 0.4 －－－－ 0 （2）
0.4 ＊ 2 ＝ 0.8 －－－－ 0 （3）
0.8 ＊ 2 ＝ 1.6 －－－－ 1 （4）
0.6 ＊ 2 ＝ 1.2 －－－－ 1 （5）
0.2 ＊ 2 ＝ 0.4 －－－－ 0 （6）

算到这里，我们得到了 0.000110 这样的一段二进制串，但是不能再算下去了，因为我们看到第 6 行和第 2 行完全一样，再计算就一直循环下去了。所以，0.1 这样一个十进制小数，在计算机的二进制里面根本没法精确表示。

思考一下，0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 这 9 个小数，有几个是可以精确表示的？

• 精确表示 Vs 精确显示

通过前面的代码我们知道，0.8 ＋ 0.9 的结果，计算机并不能精确表示，但是我们在 Javascript 中定义这样一个数值变量

var ha = 1.7

在控制台打印的话，结果又确实是 1.7。

好像很矛盾。显然，通过后面的例子可以知道 Javascript 可以精确显示 1.7（哪怕 1.7 不能被精确表示），这不是和最开始我们的结果矛盾吗？

其实这是一个想当然的错误。在直观上我们认为 0.8 ＋ 0.9 ＝ 1.7 是必然成立的（数学上确实如此），而且 1.7 又能被精确显示，那最开始的结果就应该等于 1.7，对不对？

而实际上，在计算机里 0.8 ＋ 0.9 根本不等于 1.7（什么？）！因为 0.8 和 0.9 都不能被精确表示，数值的精度丢失在了每一个环节，而不是最后的结果上。

我们可以用数学中四舍五入的概念类比一下。我们计算 1.6 ＋ 2.8 保留整数，我们觉得结果应该是 4（4.4 舍入）。但是我们用另一种方法：先把 1.6 舍入成 2，再把 2.8 舍入成 3，最后得到 5。通过不同的运算，我们得到了完全不一样的结果！所以，在 0.8 ＋ 0.9 的运算中，参与运算的两个数精度一开始已经丢失了，所以他们的结果也不再是 1.7 了。

看到这里，我们是不是要怀疑计算机的一切结果了？连几个小数都无法精确表示的话，其他数值计算结果如何保证准确呢？其实，大家不用担心，计算机在做浮点运算的时候，常常会因为无法精确表示而进行近似或舍入，而其结果在我们日常生活所需的精度范围内，都还是准确的。

刚才说到了浮点运算，照字面的理解就是浮点数的运算了。但是，浮点数是什么呢？计算机里面是怎么表示这些数字的呢？

浮点数是什么

为了弄清楚浮点数，我们需要先看定点数。所谓定点数，是计算机中采用的一种数的表示方法，参与运算的数的小数点位置固定不变。那么小数点位置可变的自然就是所谓的「浮点数」了。这里要先澄清一个概念：浮点数并不一定等于小数，定点数也并不一定就是整数；整数和小数是我们小学数学中使用的，在计算机的世界里，只有定点数和浮点数。

• 定点整数

小数点位固定在最后一位之后称为定点整数。若机器字长为 8 位，那么它能表示的整数范围是 －127 － 127（考虑正负数的符号）。例如 0111 表示 7。

• 定点小数

小数点固定在最高位之后称为定点小数。若机器字长为 8 位，数值表示范围是[-(1-2^(-7)), 1-2^(-7)]。例如 1111 表示 －0.875。

• 浮点数

在计算机的硬件中是没有小数点这个东西的。CPU 能处理的东西都是整的。所以，小数就要用类似科学计数法的方式来表示。如 1.234 在计算机里面，可以理解成用 1234 和 -3 两个整数来表示：1234 * 10 的 -3 次方，这类数就叫「浮点数」。当然，计算机里面的浮点数是二进制的。任意一个二进制浮点数 V 都可以表示成下面的形式：

V ＝ (-1)^s x M x 2^E

这里：

1. (-1)^s 表示符号位，当s ＝ 0，V 为正数；当 s ＝ 1，V 为负数；
2. M 表示有效数字，必须大于等于 1、小于 2；
3. 2^E 表示指数位。

举例来说，十进制的 5.0，写成二进制是 101.0，相当于 1.01 x 2^2。那么按照上面的格式，可以得出 s = 0, M = 1.01, E = 2。

CPU 在处理这类数的运算时需要比整数运算复杂得多的电路设计，且速度比整数运算慢很多（所以很多年前，浮点运算能力是衡量 CPU 性能的重要指标）。

浮点数的更多问题

历史上计算机科学家们曾提出过多种解决方案，最终获得广泛应用的是 IEEE 754 标准中的方案。IEEE 754 规定，对于 32 位的浮点数，最高的 1 位是符号位 s，接着的 8 位是指数 E，剩下的 23 位为有效数字 M：

32 位浮点数的分段表示

IEEE 754 对有效数字 M 和指数 E，还有一些特别规定。

前面说过，1≤M<2，也就是说，M 可以写成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小数部分。IEEE 754 规定，在计算机内部保存 M 时，默认这个数的第一位总是 1，因此可以被舍去，只保存后面的 xxxxxx 部分。比如保存 1.01 的时候，只保存 01，等到读取的时候，再把第一位的 1 加上去。这样做的目的，是节省 1 位有效数字。以 32 位浮点数为例，留给 M 只有 23 位，将第一位的 1 舍去以后，等于可以保存 24 位有效数字。

至于指数 E，情况就比较复杂。

首先，E 是没有符号的。这意味着，如果 E 为 8 位，它的取值范围为 0~255；但是，我们知道，科学计数法中的 E 是可以出现负数的，所以 IEEE 754 规定，E 的真实值必须再减去一个中间数(偏移值)。IEEE 754 标准规定该固定值为 2^(E-1) - 1，对于 8 位的 E，这个中间数是 127。

比如，2^10 的 E 是 10，所以保存成 32 位浮点数时，必须保存成10+127=137，即 10001001。

然后，指数 E 还可以再分成三种情况：

1. E不全为 0 或不全为 1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数 E 的计算值减去 127，得到真实值，再将有效数字 M 前加上第一位的 1;
2. E全为 0。这时，浮点数的指数 E 等于 1-127，有效数字 M 不再加上第一位的 1，而是还原为 0.xxxxxx 的小数。这样做是为了表示 ±0，以及接近于 0 的很小的数字;
3. E 全为 1。这时如果有效数字 M 全为0，表示 ±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）

浮点数表示范围与表示个数
对于计算机来说，浮点数可表示的范围相当大，但这并不等于表示个数。从数量级分析一下，32bit 浮点数的表示范围是 10 的 38 次方，而表示个数呢，是 10 的 10 次方。 能够被表示的数只有 1/100000000…. （大概有30个零）。

总之，计算机中数字的存储、表示、计算是非常复杂的，涉及到的内容，都够单独出一本大部头的书了，大家有兴趣可以自己找资料深入研究一下。