六. 算法之查找算法

本文的整理基于:http://blog.csdn.net/qq_23217629/article/details/52517741

查找定义:根据给定的某个值,在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素(或记录)。

查找算法分类:

1)静态查找和动态查找;

注:静态或者动态都是针对查找表而言的。动态表指查找表中有删除和插入操作的表。

2)无序查找和有序查找。

无序查找:被查找数列有序无序均可;

有序查找:被查找数列必须为有序数列。

平均查找长度(Average Search Length,ASL):需和指定key进行比较的关键字的个数的期望值,称为查找算法在查找成功时的平均查找长度。

对于含有n个数据元素的查找表,查找成功的平均查找长度为:ASL = Pi*Ci的和。

Pi:查找表中第i个数据元素的概率。

Ci:找到第i个数据元素时已经比较过的次数。

1. 顺序查找

说明:顺序查找适合于存储结构为顺序存储或链接存储的线性表。

基本思想:顺序查找也称为线形查找,属于无序查找算法。从数据结构线形表的一端开始,顺序扫描,依次将扫描到的结点关键字与给定值k相比较,若相等则表示查找成功;若扫描结束仍没有找到关键字等于k的结点,表示查找失败。

复杂度分析:

查找成功时的平均查找长度为:(假设每个数据元素的概率相等) ASL = 1/n(1+2+3+…+n) = (n+1)/2 ;

当查找不成功时,需要n+1次比较,时间复杂度为O(n);

所以,顺序查找的时间复杂度为O(n)。

2. 二分查找

说明:元素必须是有序的,如果是无序的则要先进行排序操作。

基本思想:也称为是折半查找,属于有序查找算法。用给定值k先与中间结点的关键字比较,中间结点把线形表分成两个子表,若相等则查找成功;若不相等,再根据k与该中间结点关键字的比较结果确定下一步查找哪个子表,这样递归进行,直到查找到或查找结束发现表中没有这样的结点。

复杂度分析:最坏情况下,关键词比较次数为log2(n+1),且期望时间复杂度为O(log2n);

注:时间复杂度的求法。这个时间复杂度其实就是求迭代了多少次。可知,n个元素,最糟糕的情况就是不断的对半分n/2, n/4, ..., n/2^k(其中k就是循环的次数)。

因为n/2^k >= 1, 令n/2^k = 1,则k= log2n,即为时间复杂度。

注:折半查找的前提条件是需要有序表顺序存储,对于静态查找表,一次排序后不再变化,折半查找能得到不错的效率。但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说,维护有序的排序会带来不小的工作量,那就不建议使用。——《大话数据结构》

3.  插值查找

在介绍插值查找之前,首先考虑一个新问题,为什么上述算法一定要是折半,而不是折四分之一或者折更多呢?

打个比方,在英文字典里面查“apple”,你下意识翻开字典是翻前面的书页还是后面的书页呢?如果再让你查“zoo”,你又怎么查?很显然,这里你绝对不会是从中间开始查起,而是有一定目的的往前或往后翻。

同样的,比如要在取值范围1 ~ 10000 之间 100 个元素从小到大均匀分布的数组中查找5, 我们自然会考虑从数组下标较小的开始查找。

经过以上分析,折半查找这种查找方式,不是自适应的(也就是说是傻瓜式的)。二分查找中查找点计算如下:

mid=(low+high)/2, 可写成mid=(2*low+high-low)/2, 即mid=low+1/2*(high-low);

通过类比,我们可以将查找的点改进为如下:

mid=low+(key-a[low])/(a[high]-a[low])*(high-low),其中low最小元素的下标,high是最大元素的下表,a[high]是最大元素的值,a[low]是最小元素的值,key是待查找元素的值。所以这个方法就是用(key-a[low])/(a[high]-a[low])这个自适应的比例来代替1/2。根据关键字在整个有序表中所处的位置,让mid值的变化更靠近关键字key,这样也就间接地减少了比较次数。

基本思想:基于二分查找算法,将查找点的选择改进为自适应选择,可以提高查找效率。当然,差值查找也属于有序查找。

注:对于表长较大,而关键字分布又比较均匀的查找表来说,插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之,数组中如果分布非常不均匀,那么插值查找未必是很合适的选择。

复杂度分析:查找成功或者失败的时间复杂度均为O(log2(log2n))。

4. 斐波那契查找

斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、····,在数学上,斐波那契被递归方法如下定义:F(1)=1,F(2)=1,F(n)=f(n-1)+F(n-2) (n>=2)。该数列越往后相邻的两个数的比值越趋向于黄金比例值(0.618)。

斐波那契查找就是在二分查找的基础上根据斐波那契数列进行分割的。在斐波那契数列找一个等于略大于查找表中元素个数的数F[n],将原查找表扩展为长度为F[n](如果要补充元素,则补充重复最后一个元素,直到满足F[n]个元素),完成后进行斐波那契分割,即F[n]个元素分割为前半部分F[n-1]个元素,后半部分F[n-2]个元素,找出要查找的元素在那一部分并递归,直到找到。

对于斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……(也可以从0开始),前后两个数字的比值随着数列的增加,越来越接近黄金比值0.618。比如这里的89,把它想象成整个有序表的元素个数,而89是由前面的两个斐波那契数34和55相加之后的和,也就是说把元素个数为89的有序表分成由前55个数据元素组成的前半段和由后34个数据元素组成的后半段,那么前半段元素个数和整个有序表长度的比值就接近黄金比值0.618,假如要查找的元素在前半段,那么继续按照斐波那契数列来看,55 = 34 + 21,所以继续把前半段分成前34个数据元素的前半段和后21个元素的后半段,继续查找,如此反复,直到查找成功或失败,这样就把斐波那契数列应用到查找算法中了。

从图中可以看出,当有序表的元素个数不是斐波那契数列中的某个数字时,需要把有序表的元素个数长度补齐,让它成为斐波那契数列中的一个数值,当然把原有序表截断肯定是不可能的,不然还怎么查找。然后图中标识每次取斐波那契数列中的某个值时(F[k]),都会进行-1操作,这是因为有序表数组位序从0开始的,纯粹是为了迎合位序从0开始。

斐波那契查找的时间复杂度还是O(log2n),但是与折半查找相比,斐波那契查找的优点是它只涉及加法和减法运算,而不用除法,而除法比加减法要占用更多的时间,因此,斐波那契查找的运行时间理论上比折半查找小,但是还是得视具体情况而定。

注:

二分法查找的mid=low+1/2*(high-low);

斐波那契查找的mid=low+F(k-1)-1;

所以将乘除法转化为了加减法。

5.  树表查找

5.1 二叉树查找

基本思想:二叉查找树是先对待查找的数据进行生成树,确保树的左分支的值小于右分支的值,然后在就行和每个节点的父节点比较大小,查找最适合的范围。 这个算法的查找效率很高,但是如果使用这种查找方法要首先创建树。

二叉查找树(BinarySearch Tree,也叫二叉搜索树,或称二叉排序树Binary Sort Tree)或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:

1)若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;

2)若任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;

3)任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

二叉查找树性质:对二叉查找树进行中序遍历,即可得到有序的数列。

复杂度分析:它和二分查找一样,插入和查找的时间复杂度均为O(logn),但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候,树没有保持平衡(比如,我们查找上图(b)中的“93”,我们需要进行n次查找操作)。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度,这就是平衡查找树设计的初衷。

下图为二叉树查找和顺序查找以及二分查找性能的对比图:

5.2 平衡查找树之2-3查找树(2-3 Tree)

2-3查找树定义:和二叉树不一样,2-3树运行每个节点保存1个或者两个的值。对于普通的2节点(2-node),他保存1个key和左右两个自己点。对应3节点(3-node),保存两个Key,2-3查找树的定义如下:

1)要么为空,要么:

2)对于2节点,该节点保存一个key及对应value,以及两个指向左右节点的节点,左节点也是一个2-3节点,所有的值都比key要小,右节点也是一个2-3节点,所有的值比key要大。

3)对于3节点,该节点保存两个key及对应value,以及三个指向左中右的节点。左节点也是一个2-3节点,所有的值均比两个key中的最小的key还要小;中间节点也是一个2-3节点,中间节点的key值在两个跟节点key值之间;右节点也是一个2-3节点,节点的所有key值比两个key中的最大的key还要大。

5.3 平衡查找树之红黑树(Red-Black Tree)

2-3查找树能保证在插入元素之后能保持树的平衡状态,最坏情况下即所有的子节点都是2-node,树的高度为lgn,从而保证了最坏情况下的时间复杂度。但是2-3树实现起来比较复杂,于是就有了一种简单实现2-3树的数据结构,即红黑树(Red-Black Tree)。

基本思想:红黑树的思想就是对2-3查找树进行编码,尤其是对2-3查找树中的3-nodes节点添加额外的信息。红黑树中将节点之间的链接分为两种不同类型,红色链接,他用来链接两个2-nodes节点来表示一个3-nodes节点。黑色链接用来链接普通的2-3节点。特别的,使用红色链接的两个2-nodes来表示一个3-nodes节点,并且向左倾斜,即一个2-node是另一个2-node的左子节点。这种做法的好处是查找的时候不用做任何修改,和普通的二叉查找树相同。

6. 分块查找

算法思想:将n个数据元素"按块有序"划分为m块(m ≤ n)。每一块中的结点不必有序,但块与块之间必须"按块有序";即第1块中任一元素的关键字都必须小于第2块中任一元素的关键字;而第2块中任一元素又都必须小于第3块中的任一元素,……

算法流程:

step1 先选取各块中的最大关键字构成一个索引表;

step2 查找分两个部分:先对索引表进行二分查找或顺序查找,以确定待查记录在哪一块中;然后,在已确定的块中用顺序法进行查找。

7. 哈希查找

哈希查找是通过计算数据元素的存储地址进行查找的一种方法。O(1)的查找,即所谓的秒杀。哈希查找的本质是先将数据映射成它的哈希值。哈希查找的核心是构造一个哈希函数,它将原来直观、整洁的数据映射为看上去似乎是随机的一些整数。

哈希查找的操作步骤:

1)用给定的哈希函数构造哈希表;

2)根据选择的冲突处理方法解决地址冲突;

3)在哈希表的基础上执行哈希查找。

建立哈希表操作步骤:

1)step1取数据元素的关键字key,计算其哈希函数值(地址)。若该地址对应的存储空间还没有被占用,则将该元素存入;否则执行step2解决冲突。

2)step2根据选择的冲突处理方法,计算关键字key的下一个存储地址。若下一个存储地址仍被占用,则继续执行step2,直到找到能用的存储地址为止。

哈希查找步骤为:

1)Step1对给定k值,计算哈希地址Di=H(k);若HST为空,则查找失败;若HST=k,则查找成功;否则,执行step2(处理冲突)。

2)Step2重复计算处理冲突的下一个存储地址Dk=R(Dk-1),直到HST[Dk]为空,或HST[Dk]=k为止。若HST[Dk]=K,则查找成功,否则查找失败。

比如说:”5“是一个要保存的数,然后我丢给哈希函数,哈希函数给我返回一个”2",那么此时的”5“和“2”就建立一种对应关系,这种关系就是所谓的“哈希关系”,在实际应用中也就形成了”2“是key,”5“是value。

那么有的朋友就会问如何做哈希,首先做哈希必须要遵守两点原则:

①: key尽可能的分散,也就是我丢一个“6”和“5”给你,你都返回一个“2”,那么这样的哈希函数不尽完美。

②:哈希函数尽可能的简单,也就是说丢一个“6”给你,你哈希函数要搞1小时才能给我,这样也是不好的。

其实常用的做哈希的手法有“五种”:

第一种:”直接定址法“。

很容易理解,key=Value+C;这个“C"是常量。Value+C其实就是一个简单的哈希函数。

第二种:“除法取余法”。

很容易理解,key=value%C;解释同上。

第三种:“数字分析法”。

这种蛮有意思,比如有一组value1=112233,value2=112633,value3=119033,

针对这样的数我们分析数中间两个数比较波动,其他数不变。那么我们取key的值就可以是

key1=22,key2=26,key3=90。

第四种:“平方取中法”。此处忽略,见名识意。

第五种:“折叠法”。

这种蛮有意思,比如value=135790,要求key是2位数的散列值。那么我们将value变为13+57+90=160,然后去掉高位“1”,此时key=60,哈哈,这就是他们的哈希关系,这样做的目的就是key与每一位value都相关,来做到“散列地址”尽可能分散的目地。

影响哈希查找效率的一个重要因素是哈希函数本身。当两个不同的数据元素的哈希值相同时,就会发生冲突。为减少发生冲突的可能性,哈希函数应该将数据尽可能分散地映射到哈希表的每一个表项中。

解决冲突的方法有以下两种:

(1)开放地址法

如果两个数据元素的哈希值相同,则在哈希表中为后插入的数据元素另外选择一个表项。当程序查找哈希表时,如果没有在第一个对应的哈希表项中找到符合查找要求的数据元素,程序就会继续往后查找,直到找到一个符合查找要求的数据元素,或者遇到一个空的表项。

(2)链地址法

将哈希值相同的数据元素存放在一个链表中,在查找哈希表的过程中,当查找到这个链表时,必须采用线性查找方法。

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