原文 在此
本来RSA跟区块链并无联系, 但是非对称加密以及私钥/公钥的理解相似, 因此理解RSA对与理解ECC有相当大的帮助, 因此这里再炒一次剩饭.
RSA加密演算法是一种非对称加密演算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
上面是维基百科对RSA加密算法的定义, 具体内容请点此(wikiwand让你以更优雅的姿势查看维基百科)查看.
最近在学习区块链知识, 读了<<精通比特币>>, 想把椭圆加密算法搞懂, 但是感觉很懵B, 想着先把RSA搞懂了, 再去啃硬骨头.
我们以经典的 Alice 和 Bob 举例
原始方法: 明文
Bob 是一个才子, Alice 是个美人. Bob 喜欢 Alice, 经常给 Alice 写纸条. 慢慢的 Alice 也开始给 Bob 回复纸条.
这是最原始的通信方式: 你说什么我收到什么.
双向加密
后来, Bob 和 Alice 关系有了一些进展, 班里开始有一些八卦, 传递纸条的同学忍不住开始偷窥内容. Alice 开始不再回复 Bob 的纸条, 也不太高兴, 不想让 Bob 给她传纸条了.
Bob 是个才子, 想出来一个方法: 约定一个密码, 把想写的字换掉, 比如密码是一本<<三国演义>>, 三字在第十页第二行第三字, 便写作 0100203, 国字在第200夜第10行第20字, 变成2001020. Bob 教会了 Alice 这个方法. 这样他们俩就又能开开心心地传纸条了.
双向加密的不安全性
好景不长, Alice 有一次在回复纸条时被归蜜 Lucy 撞见, Lucy 是个大嘴巴, 这样班里人手一本<<三国演义>> 大家都开始了这种时髦的通信方式, 一时间语文老师开心的不行, 以为大家突然开窍了.
RSA
Bob 想让 Alice 换一本书把, Alice 觉得太麻烦而且大家都知道怎么玩的了再要隐密传递也不太可能. 所以 Bob 回家苦心钻研, 终于发现了一个神奇的方法: RSA. (其实RSA由三人共同设计)
圆不回来了, 正题开始
公钥与私钥的产生
RSA 加密算法的核心在于一对密钥与公钥, 那么怎么产生自己的密钥和公钥呢?
- 随机选择两个不相等的质数p和q
- 计算p和q的乘积n
- 计算n的欧拉函数φ(n)
- 随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质
- 计算e对于φ(n)的模反元素d
- 将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥
"Talk is easy, show me the code."
通过示例看一下具体过程:
var BigNumber = require('bignumber.js'); // js 处理数字的位数有限, 避免溢出
// 随机选择两个数字
var p = 47;
var q = 97;
var N = p * q;
var r = (p - 1) * (q - 1);
// console.log(N, r); // 4559 4416
var e = 5; // 1 < e < r && e r 互质
// 计算e对于r的模反元素d。
var d;
// e * d % r = 1; // 模反元素
// 上面的算式 等价于: e * d + k * r = 1
// 已知 e = 3; r = 4416; 5 * d + k * 4416 = 1; // "扩展欧几里得算法" 可以求解, 至于具体的数学方法, 我不太懂. 使用下面的简单方法也可求解.
// for (var i = 10; i > -100; i--) {
// var result = (1 + i * 4416) / 5;
// console.log(i, result);
// if (result.toString().indexOf('.') < 0) {
// break
// }
// }
// 使用上面的代码得出其中一个解为: 7949, -9;
d = 7949;
// 得到公钥/私钥, 其中任意一组作为公钥都可以, 另一组作为私钥自己保存
// PrivateKey: (4559, 5)
// PublicKey: (4559, 7949)
加密过程
function rsa(key1, key2, message) {
message = +message;
if (key1 < 1 || key2 < 1) {
return 0;
}
//加密或者解密之后的数据
var rsaMessage = 0;
//加密核心算法
rsaMessage = (new BigNumber(message)).toPower(key2).modulo(new BigNumber(key1));
return rsaMessage.valueOf();
}
function test(msg) {
var encodeMsg = rsa(N, e, msg);
var decodeMsg = rsa(N, d, encodeMsg);
console.log('原始数据: ', msg, ', 密文: ', encodeMsg, ': 解密: ', decodeMsg);
}
test();
运行node index.js, 产生以下输出:
原始数据: 10 , 密文: 4261 : 解密: 10
原始数据: 20 , 密文: 4141 : 解密: 20
原始数据: 30 , 密文: 530 : 解密: 30
原始数据: 40 , 密文: 301 : 解密: 40
原始数据: 50 , 密文: 3345 : 解密: 50
原始数据: 60 , 密文: 3283 : 解密: 60
原始数据: 70 , 密文: 1855 : 解密: 70
原始数据: 80 , 密文: 514 : 解密: 80
原始数据: 90 , 密文: 1138 : 解密: 90
信任问题
上面的方法是没问题了, Bob 使用 Alice 的公钥 加密自己的消息, Alice 收到之后, 使用自己的消息解密, 但是这个方式没有办法确认消息来源, 如果 Jim 也使用这个方式来加密消息传给 Alice, 那么 Alice 怎么确认消息�的真实性呢?
是的, 聪明如你一定想到了, 签名啊, Bob使用自己的私钥来对发送的消息签名, 这样别人即使知道如何加密解密, 但是无法知道 Bob 的私钥, 是无法冒充的 Bob 的. 看一下具体过程:
上面有了 Alice 的私钥/公钥对, 我们可以用同样的方式给 Bob 找到一对私钥/公钥, 假设是(33, 3) 和 (33, 7)
- 比如 Bob 想要发送消息
14给 Alice - 使用 HASH 方法计算出消息的 HASH 值为
4, - 使用 Bob 自己的私钥(33, 3)对 HASH 签名 为
31 - 那么消息变成了
1431, Bob 再次使用 Alice 的公钥加密此消息(882)传递给 Alice - Alice 收到消息之后, 使用自己的私钥解密得到
1431 - 我们已经知道这是一个包含签名的消息, 后两位是签名(真实情况, 签名比这个复杂, 但是原理相似), Alice 首先得到消息内容
14, 然后开始校验签名31, 之前我们知道 RSA 是不可逆单向加密, 那么如何校验签名呢? - Alice 其实不需要知道这个消息是谁发送的, 只需要知道它是不是来自 Bob 就行, 因此她使用 Bob 的公钥对此签名解密, 得到 原始消息 Hash
4, 然后使用和 Bob 相同的一套 Hash 算法, 计算消息14的 Hash 也是4, Alice 很开心, 她知道这是 Bob 在向她表达一世.
这一过程简单代码示意如下:
var message = 14;
var hashOfMessage = hash(message);
var signature = rsa(33, 3, hashOfMessage);
var hashMessage = +`${message}${signature}`;
console.log('原始消息: ', message, 'Hash: ', hashOfMessage, 'Hash 签名', signature, '签名消息', hashMessage);
var encodeMsg = rsa(N, e, hashMessage);
console.log('收到消息: ', encodeMsg);
var decodeMsg = rsa(N, d, encodeMsg);
console.log('解密消息: ', decodeMsg);
// 最后2位是签名
var sentMsg = +(decodeMsg.toString()).slice(0, 2);
var sentHash = +(decodeMsg.toString()).slice(2);
console.log('原始消息:', sentMsg, '签名:', sentHash);
var rightHash = hash(sentMsg);
var decodeHash = rsa(33, 7, sentHash);
console.log('正确签名: ', rightHash, '校验签名: ', decodeHash);
安全性
上面的例子中选取的密钥都是简单密钥, 很容易被破解, 而且通过代码我们可以知道, 公钥/私钥第一位数字是加密算法一次处理上限, 大于该值加密无效.
但实际应用中我们会选择比较大的数字 作为 公钥/私钥组合, 这样破解难度也将高到极致.
比如数字: 1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413, 你知道哪两个数相乘等于它吗? 参考链接里面可以看到答案.
关于 RSA 就先写到这儿.
