参考：http://interactivepython.org/runestone/static/pythonds/BasicDS/InfixPrefixandPostfixExpressions.html
本文主要探讨简单的数学算术表达式求值算法的原理和实现。
1. 约束
本文只是探讨简单的算术表达式的求值算法，为了将主要精力放在算法思想的探讨和实现上，避免陷入对其他不是直接相关的细节的过多思考，所以提前做如下约束：
本文所讨论的算术表达式字符串中每个运算数、运算符之间都有空白符分隔开（方便后面用python字符串的split函数分割处理成列表）。
算术表达式中参与运算的运算数都为1位整数。
表达式中的运算符都为二元运算符（即一个运算符需要两个运算数），不会出现其他元的运算符（如一元运算符负号：
-）。运算的中间结果和最终结果也都为整数，且都不会产生异常（如除数为0等）。
暂且只支持如下几种运算符：
+ - \* / ( )
2. 中缀表达式与后缀表达式
算术表达式，根据运算符和运算数的相对位置不同，可以分为三种：前缀表达式（prefix）、中缀表达式（infix）和后缀表达式（postfix），其中后缀表达式又称为逆波兰式，在本文中只讨论中缀和后缀表达式。
中缀表达式：就是我们平时常见的算术表达式，如
1 + 2 \* 3，( 1 + 2 ) \* 3这样的运算符在运算数中间的表达式，中缀表达式的特点是符合人的理解习惯，并且可以加小括号改变运算的先后顺序。但缺点是如果用编程来求值的话比较困难。后缀表达式：是将中缀表达式进行变换后得到的表达式，如
1 2 3 \* +，1 2 + 3 \*这样的运算符在运算数后面的表达式，后缀表达式的特点是虽然不符合人的理解习惯，但编程来求值却很方便，且没有括号的烦恼。
后缀表达式因为不需要括号，所以编程求值起来比较方便，下面将先从如何对后缀表达式求值讲起。
3. 后缀表达式求值
1. 核心算法：
创建一个空栈，名为numstack，用于存放运算数。
用python字符串的split函数将输入的后缀表达式（postfix）分割为列表，将该列表记为input。
从左到右遍历input的每一个元素token：
若token为运算数，将其转换为整数并push进numstack；
若token为运算符，则将numstack pop两次，将第一次pop得到的数作为运算符的右操作数，将第二次pop得到的数作为运算符的左操作数，然后求出运算结果，并将结果push进numstack；
遍历完input后，numstack仅剩下一个元素，这就是表达式的最终求值结果，pop出这个元素，算法结束。
2. 举例
比如求4 5 6 \* +这样一个后缀表达式的值（注：其前缀表达式为：4 + 5 \* 6，值为34），按照上述算法，过程如下：
| No. | operator | numstack |
|---|---|---|
| 1 | 4 | |
| 2 | 4 5 | |
| 3 | 4 5 6 | |
| 4 | * | 4 5 6 |
| 5 | 4 30 | |
| 6 | + | 4 30 |
| 7 | 34 |
所以最终的表达式求值结果为：34
3. 代码实现
# 准备工作：创建一个栈类
class Stack():
def __init__(self):
self.data = []
def __str__(self):
return str(self.data)
__repr__ = __str__
def pop(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data.pop()
return None
def push(self,e):
self.data.append(e)
def clear(self):
del self.data[:]
# 获取栈顶元素，但不弹出此元素
def peek(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data[-1]
return None
# 判断栈是否为空
def empty(self):
return len(self.data) == 0
# 求值函数
def get_value(num1,op,num2):
if op == '+':
return num1 + num2
elif op == '-':
return num1 - num2
elif op == '*':
return num1 * num2
elif op == '/':
return num1 / num2
else:
raise ValueError('invalid operator!')
# 后缀表达式求值函数
def get_postfix_value(postfix):
# 1. 创建一个运算数栈
numstack = Stack()
# 2. 分割postfix
inPut = postfix.strip().split() # 注：因为'input'是内置函数名，所以用'inPut';strip函数的作用是去掉字符串的开始和结尾的空白字符
# 3. 遍历inPut
for token in inPut:
# 3.1 如果token为运算数
if token.isdigit():
numstack.push(int(token))
# 3.2 如果token是运算符
else:
num2 = numstack.pop()
num1 = numstack.pop()
numstack.push(get_value(num1,token,num2))
# 4. 输出numstack的最后一个元素
return numstack.pop()
# 后缀表达式
# 注：对应的中缀表达式为：(1+2)*(3+4)，运算结果为：21
postfix = '1 2 + 3 4 + *'
print '【Output】'
print get_postfix_value(postfix)
【Output】
21
4. 中缀表达式转后缀表达式
1. 核心算法
创建一个空栈opstack，用于存放运算符，创建一个空列表output用于保存输出结果。
使用python字符串的
split函数将输入的中缀表达式（infix）字符串分割成列表并存入input列表中。从左到右遍历input列表的每个元素token：
若token是运算数，直接append到output中；
若token是运算符，先判断它与opstack栈顶元素的运算优先级（注：小括号的优先级约定为最低），若：token的优先级小于等于栈顶元素优先级，则先从opstack中pop出栈顶元素并append到output，再将token push进opstack；否则直接将token push进opstack；
若token是左括号，直接将其push进opstack；
若token是右括号，依次pop出opstack中的元素并依次append到output，直到遇到左括号，将左括号继续pop出（但不append到output）。
当遍历完成input，将opstack中所有的剩余元素pop出并依次append到output。
将output转换为字符串，即为最终求得的后缀表达式。
2. 举例
比如将(A+B)\*C这样一个中缀表达式转换为后缀表达式（其中A,B,C表示整数），按照上述算法，转换过程如下：
| No. | opstack | output |
|---|---|---|
| 1 | ( | |
| 2 | ( | A |
| 3 | (+ | A |
| 4 | (+ | A B |
| 5 | A B + | |
| 6 | * | A B + |
| 7 | * | A B + C |
| 8 | A B + C * |
所以最终求得的后缀表达式为：A B + C *
3. 代码实现
# 准备工作：创建一个栈类
class Stack():
def __init__(self):
self.data = []
def __str__(self):
return str(self.data)
__repr__ = __str__
def pop(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data.pop()
return None
def push(self,e):
self.data.append(e)
def clear(self):
del self.data[:]
# 获取栈顶元素，但不弹出此元素
def peek(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data[-1]
return None
# 判断栈是否为空
def empty(self):
return len(self.data) == 0
# 求值函数
def get_value(num1,op,num2):
if op == '+':
return num1 + num2
elif op == '-':
return num1 - num2
elif op == '*':
return num1 * num2
elif op == '/':
return num1 / num2
else:
raise ValueError('invalid operator!')
# 将中缀表达式转换为后缀表达式的函数
def infix2postfix(infix):
# 1. 创建运算符栈和输出结果列表
opstack = Stack()
output = []
# 准备一个运算符优先级字典，其中左小括号的优先级最低
priority = {'(' : 0,'+' : 3,'-' : 3,'*' : 4,'/' : 4}
# 2. 分割infix
inPut = infix.strip().split()
# 3. 遍历inPut
for token in inPut:
# 3.1 若token是运算数
if token.isdigit():
output.append(token)
# 3.2 若token是运算符
elif token in ['+','-','*','/']:
if not opstack.empty() and priority[token] <= priority[opstack.peek()]:
output.append(opstack.pop())
opstack.push(token)
# 3.3 若token是左括号
elif token == '(':
opstack.push(token)
# 3.4 若token是右括号
elif token == ')':
while opstack.peek() != '(':
output.append(opstack.pop())
# 弹出左括号
opstack.pop()
else:
raise ValueError('invalid token:{0}'.format(token))
# 4. 将opstack中剩余元素append到output
while not opstack.empty():
output.append(opstack.pop())
# 5. 将output转换为字符串（每个元素用空格隔开）并输出
return ' '.join(output)
infix = '( 1 + 2 ) * ( 3 + 4 )'
print '【Output】'
print infix2postfix(infix)
【Output】
1 2 + 3 4 + *
5. 整理：中缀表达式求值
1. 核心算法
经过前面的讨论，那么现在求中缀表达式的值就很简单了，分为两步：第1步，将中缀表达式转换为对应的后缀表达式；第2步，对后缀表达式求值。
2. 完整代码实现
# 准备工作：创建一个栈类
class Stack():
def __init__(self):
self.data = []
def __str__(self):
return str(self.data)
__repr__ = __str__
def pop(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data.pop()
return None
def push(self,e):
self.data.append(e)
def clear(self):
del self.data[:]
# 获取栈顶元素，但不弹出此元素
def peek(self):
if len(self.data) != 0:
return self.data[-1]
return None
# 判断栈是否为空
def empty(self):
return len(self.data) == 0
# 求值函数
def get_value(num1,op,num2):
if op == '+':
return num1 + num2
elif op == '-':
return num1 - num2
elif op == '*':
return num1 * num2
elif op == '/':
return num1 / num2
else:
raise ValueError('invalid operator!')
# 将中缀表达式转换为后缀表达式的函数
def infix2postfix(infix):
# 1. 创建运算符栈和输出结果列表
opstack = Stack()
output = []
# 准备一个运算符优先级字典，其中左小括号的优先级最低
priority = {'(' : 0,'+' : 3,'-' : 3,'*' : 4,'/' : 4}
# 2. 分割infix
inPut = infix.strip().split()
# 3. 遍历inPut
for token in inPut:
# 3.1 若token是运算数
if token.isdigit():
output.append(token)
# 3.2 若token是运算符
elif token in ['+','-','*','/']:
if not opstack.empty() and priority[token] <= priority[opstack.peek()]:
output.append(opstack.pop())
opstack.push(token)
# 3.3 若token是左括号
elif token == '(':
opstack.push(token)
# 3.4 若token是右括号
elif token == ')':
while opstack.peek() != '(':
output.append(opstack.pop())
# 弹出左括号
opstack.pop()
else:
raise ValueError('invalid token:{0}'.format(token))
# 4. 将opstack中剩余元素append到output
while not opstack.empty():
output.append(opstack.pop())
# 5. 将output转换为字符串（每个元素用空格隔开）并输出
return ' '.join(output)
# 后缀表达式求值函数
def get_postfix_value(postfix):
# 1. 创建一个运算数栈
numstack = Stack()
# 2. 分割postfix
inPut = postfix.strip().split() # 注：因为'input'是内置函数名，所以用'inPut';strip函数的作用是去掉字符串的开始和结尾的空白字符
# 3. 遍历inPut
for token in inPut:
# 3.1 如果token为运算数
if token.isdigit():
numstack.push(int(token))
# 3.2 如果token是运算符
else:
num2 = numstack.pop()
num1 = numstack.pop()
numstack.push(get_value(num1,token,num2))
# 4. 输出numstack的最后一个元素
return numstack.pop()
# 中缀表达式求值函数
def get_infix_value(infix):
postfix = infix2postfix(infix)
return get_postfix_value(postfix)
infix = '( 1 + 2 ) * ( 3 + 4 )'
print '【Output】'
print get_infix_value(infix)
【Output】
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