小朋友学C语言(18):二进制

一、十进制与二进制

我们日常所用到的计数方式,是十进制(数字用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字来表示)。
十进制的进位规则是”逢十进一”。
比如零、一、二、三、四、五、六、七、八、九都是用一位数来表示。再进一的话,是十。十无法用1位数来表示,所以要”进一”,用两位数来表示,即10。
19进一是二十,无法以1X来表示,所以得用20来表示。
99进一是一百,无法用9X来表示,所以得用100来表示。

计算机用二进制(数字用0和1来表示)来存储数据。二进制的进位规则是“逢二进一”。
零用0来表示;
一用1来表示;
那么二该如何表示呢?因为总共只能用0和1来表示,二就相当于十进制里的十,需要进位了,所以二用10表示;
同理三用11来表示;
四需要再进一位,用100来表示;
五用101来表示;
六用110来表示;
七用111来表示;
八需要再进一位,用1000来表示;
九用1001来表示;
其余的依此类推。

二、二进制转换为十进制

在考虑二进制之前,咱们先看一下十进制的幂表示方法:

0 = 0 * 10^0;
1 = 1 * 10^0;
2 = 2 * 10^0;
3 = 3 * 10^0;
10 = 1 * 10^1 + 0 * 10^0
11 = 1 * 10^1 + 1 * 10^0
12 = 1 * 10^1 + 2 * 10^0
13 = 1 * 10^1 + 3 * 10^0
20 = 2 * 10^1 + 0 * 10^0
21 = 2 * 10^1 + 1 * 10^0
22 = 2 * 10^1 + 2 * 10^0
23 = 2 * 10^1 + 3 * 10^0
30 = 3 * 10^1 + 0 * 10^0
31 = 3 * 10^1 + 1 * 10^0
99 = 9 * 10^1 + 9 * 10^0
100 = 1 * 10^2 + 0 * 10^1 + 0 * 10^0
123 = 1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 3 * 10^0

这样,就可以得出任何一个十进制数的幂表示方法。比如

32078 = 3 * 10^4 + 2 * 10^3 + 0 * 10^2 + 7 * 10^1 + 8 * 10^0  

二进制同样可以用这种方式来表示,并且可以算出相应的十进制值

二进制 十进制
0 0 * 2^0 = 0
1 1 * 2^0 = 1
10 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2
11 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 3
100 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 4
101 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 5
110 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 0^0 = 6
111 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 7
1000 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 8
1001 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 9
1010 1 * 2^3 + 0 * 2^2 +1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 10
1011 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 11
1100 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 12
1101 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 13
1110 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 14
1111 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 15
10000 1 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 16

作业:
(1)计算并牢记2 ^ 0, 2 ^ 1, 2 ^ 2, 2 ^ 3, 2 ^ 4, 2 ^ 5, 2 ^ 6, 2 ^ 7, 2 ^ 8, 2 ^ 9, 2 ^ 10
(2)求二进制11011, 101010, 11111111对应的十进制数

三、十进制正整数转换为二进制

十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余,逆序排列"法。
具体做法是:用2整除十进制整数,可以得到一个商和余数;再用2去除商,又会得到一个商和余数,如此进行,直到商为0时为止,然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来。

例1:十进制13转化为二进制
解:

13 / 2 = 6,余数为1
6 / 2 = 3,余数为0
3 / 2 = 1,余数为1
1 / 2 = 0,余数为1
上面的余数为1,0,1,1。逆排列后变为1,1,0,1
所以13 = (1101)B。这里B代表Binary,二进制的意思。

例2:1024转化为二进制
解:

1024 / 2 = 512,余数为0
512 / 2 = 256,余数为0
256 / 2 = 128,余数为0
128 / 2 = 64,余数为0
64 / 2 = 32,余数为0
32 / 2 = 16,余数为0
16 / 2 = 8,余数为0
8 / 2 = 4,余数为0
4 / 2 = 2,余数为0
2 / 2 = 1,余数为0
1 / 2 = 0,余数为1
所以,1024 = (10000000000)B。从这里也可以看出,1024 = 2 ^ 10

例3:十进制255转化为二进制
解:

255 / 2 = 127, 余数为1
127 / 2 = 63,余数为1
63 / 2 = 31,余数为1
31 / 2 = 15,余数为1
15 / 2 = 7,余数为1
7 / 2 = 3,余数为1
3 / 2 = 1,余数为1
1 / 2 = 0,余数为1
所以,255 = (11111111)B

作业:将十进制25, 100, 32767转化为二进制。


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