数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行的更快，如何让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的指标。那么如何来衡量呢？答案是：时间、空间复杂度分析。
只要讲到数据结构与算法，就一定离不开时间、空间复杂度分析
为什么需要复杂度分析？
我们把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用内存的大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我们实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？
可以肯定的说，我们这种评估执行效率的方法是正确的。这种方法有一个名字，叫做事后统计法。但是，这种统计方法有非常大的局限性。
1.测试结果非常依赖测试环境
测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如，我们拿一段代码，分别用Intel Core i9处理器和Intel Core i3处理器来运行，不用说，i9处理器比i3处理器执行的速度快很多。还有，比如原本在这台机器上a代码执行的速度比b代码要快，等我吗换到另一台机器上时，可能会有截然相反的结果。
2.测试结果受数据规模的影响很大
比如排序算法，对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。除此之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实的反应算法的性能。比如，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒会比快速排序要快！
所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略的估计算法的执行效率的方法。这就是我们要讲的时间、空间复杂度分析方法。
大O复杂度表示法
算法的执行效率，粗略的讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢？
我们来看下面这段代码，求1,2,3...n的累加和。现在，我们就来估算一下这段代码的执行时间。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
从CPU的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的CPU执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？
第2、3行代码分别需要1个unit_time的执行时间，第4、5行都运行了n遍，所以需要2n*unit_time的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2)*unit_time。可以看到，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。
按照这个分析思路，我们再来看这段代码。
int cal (int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++j) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
我们依旧假设每个语句的执行时间是unit_time。那这段代码的总执行时间T(n)是多少呢？
第2、3、4行代码，每行都需要1个unit_time的执行时间，第5、6行代码循环执行了n遍，需要2n*unit_time的执行时间，第7、8行代码循环执行了n²遍，所以需要2n²*unit_time的执行时间。所以，整段代码总的执行时间T(n) = (2n²+2n+3)*unit_time。
尽管我们不知道unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比。
我们可以把这个规律总结成一个公式。大O登场。
其中，T(n)表示代码执行的时间，n表示数据规模的大小，f(n)表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用f(n)来表示。公式中的O，表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。
所以，第一个例子中的T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的T(n) = O(2n²+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不是具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity)，简称时间复杂度。
当n很大时，你可以把它想象成10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大O表示法表示刚才的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n); T(n) = O(n²)。
时间复杂度分析
现在我们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度。这里介绍三个比较实用的方法。
1.只关注循环执行次数最多的一段代码
刚才说，大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的n的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
为了便于理解，还是拿前面的例子来说明。
int cal (int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
其中第2、3行代码都是常量级的执行时间，与n的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第4、5行代码，所以这块代码要重点分析。这两行代码被执行了n次，所以总的时间复杂度就是O(n)。
2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
int cal (int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int 1 = 1;
for (; q < n; ++1) {
sum_2 = sum_2 + 1;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
这个代码分为三部分，分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了100次，所以是一个常量的执行时间，跟n的规模无关。
即使这段代码循环10000次、100000次，只要是一个已知的数，跟n无关，照样也是常量级的执行时间。当n无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略。因为它本身对增长趋势并没有影响。
那么第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是O(n)和O(n²)。
综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为O(n²)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：
如果 T1(n) = O(f(n))，T2(n) = O(g(n))；那么T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n))，O(g(n))) = O(max(f(n)，g(n))。
3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
刚刚讲了加法法则，这儿还有一个乘法法则。类比一下，应该能“猜到”公式是什么样子的吧？
如果 T1(n) = O(f(n))，T2(n) = O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))。
也就是说，假设 T1(n) = O(n), T2(n) = O(n²)，则 T1(n) * T2(n) = O(n³)。落实到代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环，举个例子。
int cal (int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}
int f (int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第4~6行代码的时间复杂度就是 T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的复杂度是 T2(n) = O(n)，所以整个 cal() 函数的时间复杂度就是 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)。
几种常见时间复杂度实例分析
虽然代码千差万别，但是常见的复杂度量级并不多。以下总结的这些复杂度是我们常见的几种。
对于上面的几种复杂度量级，我们可以粗略的分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中非多项式量级只有两个：O(2ⁿ)和O(n!)。
当数据规模n越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实非常低效的算法。因此，我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
1.O(1)
首先必须明确一个概念，O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是说只执行了一行代码。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1)，而不是O(3)。
int i = 10;
int j = 20;
int sum = i + j;
也就是说，只要代码的执行时间不随n的增大而增大，这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是O(1)。
2.O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，同事也是最难分析的一种时间复杂度。通过一个例子来看一下。
i = 1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
根据之前讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量i的值从1开始取，每循环一次就乘以2。当大于n时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量i的取值就是一个等比数列。如果把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：
所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。x = log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是O(log2n)。
现在，把代码稍微改下，再来看看，这段代码的时间复杂度是多少？
i = 1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}
根据刚刚讲的思路，可以分析出来，这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。
实际上，不管是以2为底、以3为底，还是以10为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？
因为，对数之间是可以互相转换的，log₃n 等于 log₃2* log₂n，所以 O(log₃n) = O(C *log₂n)，其中 C = log₃2是一个常量。基于我们前面的一个理论：在才用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n))。所以，O(log₂n)就等于 O(log₃n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。
如果理解了 O(logn)，那 O(nlogn)就很容易理解了。根据我们前面讲的乘法法则，如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行n遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3.O(m+n)、O(m*n)
有一种跟前面讲的都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。我们先来看一段代码：
int cal (int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
从代码中可以看出，m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单的利用 加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m + n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则则继续有效：T1(m) * T2(n) = O(f(m) * f(n))。
空间复杂度
前面，我们花了很长篇幅讲大 O 表示法和时间复杂度分析，理解了前面的内容，空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。
前面讲过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度 (asymptotic space complexity)，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
我们来看一段代码：
void print (int n) {
int i = 0;
int [] a = new int[n];
for (i; i < n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n - 1; i >= 0; --i) {
print out a[i];
}
}
跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第2行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n²)，像 O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单的多。所以，对于空间复杂度，掌握这些内容就足够了。
