线性代数

一、行列式的计算

四阶及以上行列式变形为上、下三角形式或某行或列只有一个非零数进行展开计算。
代数余子式是余子式的(-1)^{ij}
副对角线公式:\color{black}{{线上元素乘积}a^{(-1)^{\frac{n*(n-1)}{2}}}}

二、克莱姆法则

Ax=0齐次式,则方程组对应的行列式D
\begin{cases}D \neq 0 \qquad \color{black}{Ax=0有零解} \\ D= 0 \qquad \color{black}{Ax=0有非零解} \end{cases}

Ax=b非齐次式,则方程组对应的行列式D
\begin{cases}D\neq 0 \qquad \color{black}{Ax=b有唯一解} \\[1em] D= 0 \qquad \color{black}{\begin{cases} \color{black}{Ax=b有无穷多解}\\ \color{black}{Ax=b无解} \end{cases}} \end{cases}

三、矩阵

3.1 矩阵的加减运算

矩阵加减法必须是同型的。

3.2 矩阵的乘法运算

前提条件:A\cdot B\quad A的列数要与B的行数相同才可以进行乘法运算
A_{m*n}\cdot B_{n*s}=C_{m*s}
矩阵的乘法只满足结合律。

3.3 矩阵的转置

(AB)^T=B^TA^T

3.4 矩阵的初等变换

只能用行进行初等变换。

3.4 逆矩阵

矩阵A,则对应的逆矩阵为A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}
A^*为伴随矩阵,定义如下:
矩阵第一行的代数余子式是伴随阵的第一列,矩阵第二行的代数余子式是伴随阵的第二列,以此类推。

逆矩阵的性质:
\begin{cases} AA^*=|A| \cdot E \qquad \text{E为单位阵} \\[1em] AA^{-1}=E\\[1em] |(AB)^{-1}|=\frac{1}{|A||B|}\\[1em] (A^*)^{-1}=\frac{A}{|A|}\\[1em] (aA)^{-1}=\frac{1}{a}A^{-1}\\[1em] \end{cases}

特殊的逆矩阵:
若多阶矩阵主对角线以外的元素均为0,则对角线元素取倒数,就为逆矩阵。

3.5 矩阵方程

矩阵分x的左边乘和右边乘:
Ax=B\quad则x=A^{-1}B
xA=B\quad则x=BA^{-1}

3.6 矩阵的秩

将矩阵进行行初等变换,为行阶梯型,则非零行的行数就为矩阵的秩。

四、方阵行列式

方阵和行列式的区别主要在于系数,行列式的系数是对于某行或某列,方阵的系数针对全部的行和列。
|2A|=2^3|A|
|aA_{n*m}|=a^n|A_{n*m}|
|AB|=|A||B|

五、向量组的线性相关性

判定方法:向量组写成矩阵,向量为列,并进行行初等变换,若有有全0行,则向量组线性相关。

5.1 向量组的极大无关组及其秩

解题方法:

  1. 向量组写成列向量,变为矩阵
  2. 对矩阵进行行阶梯形变换,得到秩
  3. 极大无关组就是首非零元所对应的列的向量。

向量的秩小于等于向量的维度和向量的个数。

六、齐次线性方程组和非齐次线性方程组

6.1 齐次线性方程组

  1. 写出系数矩阵。
  2. 若秩小于未知数个数,则有非零解。
  3. 矩阵化为最简阶梯形。

6.2 非齐次线性方程组

  1. 将增广矩阵化为行阶梯型。
  2. r(A|b)=r(A)=r时,把非首非零元所在的列对应的n-r个变量作为自由元。
  3. 令所有自由元为零,得到Ax=b的一个特解。
  4. Ax=0的基础解系,加上特解,就是非齐次线性方程组的特解。

关于利用秩判断方程组解的状态n:
r(A|b)=r(A)=n,n为未知数个数,则方程组有唯一的解。
r(A|b)=r(A)<n,n为未知数个数,则方程组有无穷多解,基础解系有n-r个向量。
r(A|b)≠r(A),n为未知数个数,则方程组无解。