DP问题求解之爬楼梯
DP算法是在面试或者机试中会重点考察的一类问题，而且这类问题一般难度比较大，所以想花一点时间来重新总结一下这类问题的解法，实际上对DP问题来说，能写出了状态转移方程是关键。这一篇先从最简单的爬楼梯问题开始，引出DP问题的常规解题思路。
入门级爬楼梯
这是最最最常规，也是大家见的最多的爬楼梯的题，题目详见leetcode 70 Climbing Stairs
也就是小明同学爬n级楼梯，他一次可以上一级也可以上两级，问小明有多少种上楼梯的办法。实际上，早在上高中学数列的时候，老师应该就介绍过一种特殊的数列叫斐波那契数列（如果不知道斐波那契数列，可以参考维基百科），这个入门级的爬楼梯问题实际上就遵循斐波那契数列，因为假设现在已知小明爬n-2级楼梯有f(n-2)种方法，爬n-1级楼梯有f(n-1)种方法，那么他可以选择从n-2级楼梯上两级到n级，也可以选择从n-1级楼梯上一级到n级，所以很容易得到状态转移方程：
- 当i>2时，status(i) = status(i-1) + status(i-2)
- status(1) = 1，status(2)=2
这样就很容易写出代码，需要注意的是利用status数组存中间状态，避免了使用递归对之前状态的重复计算而出现的TLE。
参考代码如下：
int climbStairs(int n) {
if(n == 1){
return 1;
}
if(n == 2){
return 2;
}
int num1 = 1;
int num2 = 2;
for(int i = 2;i<n;i++){
int tmp = num1 + num2;
num1 = num2;
num2 = tmp;
}
return num2;
}
略升级版爬楼梯
和上面这道题非常类似的一道题是leetcode 746 Min Cost Climbing Stairs，这道题是给每级楼梯分了一个cost，还是一次可以上一级也可以上两级，求爬到n级楼梯cost最小的一种解法。状态转移方程为：
- 当i>2时，status(i) = min(status(i-1),status(i-2))+status(i)
注意这里有个坑点是，对四级楼梯来说，cost是一个包含三个元素的数组，代表上一级，二级，三级楼梯的代价。所以为了方便起见，对status数据进行了一个初始化：
memset(status,0,sizeof(status));
for(int i = 1;i<=cost.size();i++){
status[i] = cost[i-1];
}
这样在写状态转移方程的时候就不需要cost的参与，不容易下标混乱。
参考代码如下：
int minCostClimbingStairsCore(int status[],int n){
for(int i = 3;i<=n;i++){
status[i] = status[i] + min(status[i-1],status[i-2]);
}
return status[n];
}
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
int n = (int)cost.size();
int status[n+2];
memset(status, 0, sizeof(status));
for(int i = 1;i<=n;i++){
status[i] = cost[i-1];
}
return minCostClimbingStairsCore(status,n+1);
}
Boss版爬楼梯
这个在leetcode上没有原题，但我觉得是对常见爬楼梯问题的一个很好地变形，题目叙述如下：
小明上楼梯的时候一步跨的台阶数一定是2的幂。那么对于一个有n个台阶的楼梯，小明有多少种不同的上楼梯的办法使得他刚好走完这个楼梯？
Input:第一行是一个正整数T，表示有T组测试数据。
每组测试数据有一行一个正整数n，表示楼梯的台阶数。
(1<=T<=50000,1<=n<=50000)Output:每组数据输出一行，表示小明的上楼梯的方案的个数。
由于这个答案会很大，只要输出方案数对10000取模的答案即可。
在这道题中小明的腿十分的长，他不再只能跨一级或者两级楼梯，只要是2的幂的楼梯他都能跨。其实题目解法的本质没有变，只是状态方程变成了：
status[n] = status[n-1]+status[n-2]+status[n-4]+…
所以只需要对和n差了2的整数幂的状态进行累加即可，参考代码如下：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<unordered_set>
using namespace std;
void stageCore(vector<int>& res){
for(int i = 1;i<=50000;i++){
int fac = 1;
while(fac <= i){
res[i] += res[i-fac];
fac *= 2;
}
res[i] = res[i] % 10000;
}
}
int main(){
int testNums;
vector<int> res(50001,0);
res[0] = 1;
stageCore(res);//提前存储所有结果，避免TLE
while(cin>>testNums){
for(int i = 0;i<testNums;i++){
int stages;
cin>>stages;
cout<<res[stages]<<endl;
}
}
}
总结
爬楼梯问题是DP问题中比较简单的一种，但它很好地体现了解决DP问题的思路。从某个单一子问题出发，写出状态转移方程才是解决问题的王道。
