从数形结合到待定系数法

暑假课程研讨的时候,王校说我对待定系数法的理解还不够到位,之后虽然也略微调整了课程资料,但大体上没啥特别的领悟。

最近上到这部分内容,感觉挑战单上的问题难度较大,绝大部分孩子会懵圈。那就想办法从前面的内容就开始为待定系数法做准备吧!

前面一节是“一次函数与二元一次方程组的再认识”。因为本章开头就是从“一次函数与二元一次方程组”入手的,研究了二元一次方程组的代数解法之后,再次回到这个问题,会不会有什么新的发现呢?

牢牢抓住一个核心——数形结合,也就是说,一个二元一次方程有无数个解,它的每个解都是与之对应的一次函数图象上的一个点的坐标;反过来,一次函数图象上每一个点的坐标都是与之对应的二元一次方程的一个解;二元一次方程组的解就是与之对应的两个一次函数的图象的交点坐标;反过来,两条直线的交点坐标就是与之对应的二元一次方程组的解。

这就意味着,只要知道某一次函数图象上的某点坐标,就相当于知道了该一次函数对应的二元一次方程的一个解,就可以把这个解代入方程中,使得等式依然成立。

原理清楚了,就去解决这样的问题。以往这类习题,我们看到的答案都是,由题可知,然后列出方程或者方程组,解答。但是现在我意识到,由题可知,这句话实在太害人了。由题知道了什么呢?没有清晰的解释,相当于在鼓励孩子们不讲逻辑。所以我们进行了调整,每一道题,只要涉及到数形结合,将相应的解代入方程当中就必须说明原因。两节课下来,效果非常明显,孩子们都能比较清楚的,解释原因了。

起初的练习会直接给出y=kx,或者是y=kx+1,或者是y=kx+b这样的解析式。当这类问题比较熟练的掌握的时候,我就抛出了一个不太一样的问题:不给出解析式,只说明这是一个一次函数,它的图像经过哪两个点给出点的坐标?问学生,你能求出这个解析式吗?

大部分孩子都会想到直接用y=kx+b这个解析式。这时候有的孩子就开始质疑了:题目并没有直接给出解释呀,你凭什么可以直接这样用呢?

大家的回应是,题目中说是一次函数了,一次函数解析式就应该是y=kx+b的形式啊!

那么这位同学的质疑就毫无道理吗?当然不是,题目中没有直接给出,而我们又需要用,我们用这个解析式,当然有我们的道理,因为它是一次函数,它的解析式就满足的y=kx+b的形式,但是毕竟题目中没有直接给出,所以我们要设这个解析式为,y=kx+b。

至此,待定系数法就这样自然而然的被孩子们创造出来了。

同步,我们还关注了这样一个问题:对于正比例函数,需要几个条件能够确定它的图象和解析式?对于一次函数,需要几个条件才能确定它的图象解析式?

接下来就是把问题慢慢变得复杂,不直接给出两点坐标,而是其中一点坐标求出,或与实际问题相结合,等等。

曾经感觉这类问题对孩子们来说挺难的,但实际上孩子们掌握的情况还不错。小小地开心一下!

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