费马和欧拉,我们想到一块去了?

1. 然并卵

关于素数,费马和欧拉他们当初是怎么想的?相关的定理是怎么一步步构造出来的?

如果想不通,没关系。这两位都是历史长河中的巨人,思维(我键入sw第一个弹出来的是丝袜,看来我某方面还是挺有思维的)跟不上他们没啥丢人的。

如果想通了,然并卵,至多像我一样发发没人看的文章。

2. 空想不如烂七八糟写(1)

对着一串素数傻了吧唧的发呆,不如写点东西来玩。

我们知道一个素数只有1和它自己两个因子,因此只可能是有其他数字是它的倍数。倘若是它的倍数,那么我们先创造两个数出来,一个数是a,另一个是素数p,则:

这个式子好像没有什么屁用。那么我们不妨重新构造一下a,让a不为p的倍数,那么肯定会产生一个余数c,则:

这个好像会有点用,我继续试想一下——a的倍数模p会得到什么呢?我们先来构造a的倍数:

构造完了,似乎还是没有什么发现,找不到什么特殊性,没有特殊性就自然提炼不出什么规律。看来我们构造的不够仔细。

我们再来回顾一下我们的构造,似乎真的有问题,因为如果n大于p的话,其中必然出现sn中的某个数值可以整除p的情况,也就是余数为0,为0的情况我们之前已经认为是没有太大意义的了。因此我们限定n=p-1

在这个限定下,我们可以发现其中任何两个s都不可能模p同余。这是为什么呢?

我们先找到第r,第t个s。并t大于r,倘若是有同余的情况,我们可以得到:

因为t-r小于p,所以p肯定不是t-r的因子,而我们已经规定p不能整除a。因此这个假设不成立。

同时,我们可以知道sn各项模p的余数分别应该是1,2,3...p-1,因此我们有:

我们令s1s2s3..sp-1=Q,则:

又因为Q中的因子没有能被p整除,因此,我们得到:

你要是1636年之前写出这个,费马小定理就改跟你姓了。比如西门小定理什么的。

这个时候你可能又要好奇了,为什么要叫小定理,莫非他还整了个大的?

是的,在另一篇文章中,我们将会一起找到这个大定理。


3.空想不如烂七八糟写(2)

我们一直在考察一个数的素性,那么两个数之间如果有类似性质会发生什么呢?

素数的只有1和它自己两个因子。那么两个数之间互素说的就是共同因子只有1喽?

让我们来找找看,在<=n的范围内与n互素的整数个数是多少,即这个数字为M(n):

M(1)=1     

M(2)=1     

M(3)=2     

M(4)=2

M(5)=4

M(6)=2

M(7)=6

M(8)=4

M(9)=6

M(10)=4

猛看一眼,M的值比素数密度还没有规律。忽高忽低。但细细品味,计算起来似乎比素数密度要简单。比如当n为素数时,n-1便是M(n)的值。

等等,这个n-1我们刚刚还用到它了。它是费马小定理中的指数,也就是说费马小定理还可以这样写:

但是得到这个式子似乎也是没个卵用的。因为得到了费马小定理之后,这个式子就是明摆着的。

那么我们不妨大胆迈出下一步,探索一下这个在独特范围内生效的规律能否实现推广?

我们回到对a的倍数乘积的构造,在这里总共有M(n)个a相乘,于是:

然而我们能确定的只有M(n)是小于n的,但其中随着n的变化,M的值可能是一样的。比如M(10)=M(5)  

到这里,我们唯一能确定的范围就是a不能为p的倍数,因为如果有倍数关系,则a模p余0,没有任何值得挖掘意义,跟我们想要推广的式子也扯不上关系。

既然回到了a和p的相互关系,我们继续看看之前是如何构造a与p的。

我们之前假定了p是一个素数,从而导致了接下来一系列的推理。看来,我们要改造的关键是p的性质。

我们这次假定p可以是素数或者合数。那么a怎么假设它呢?

其实a的假设很好得到,因为如果a和p有共同因子,那么求余的过程中共同因子都会被约掉,直到得到互质的两个数,既然最终是要互质的,那么我们就可以得到a和p的关系了——a与p互质。

同时,我们创造一个集合,里面是所有与p互质的数模p的余数。集合可以这样表示(集合总共会有M(n)项)

这是每一项M乘以a求余的集合:

因为a与p是互质的,因此以上两个集合是相同的,都是所有与p互质的数模p的余数的集合。

这样我们就有了:

去掉相同的因子,则:

我们把M换成专业符号,就得到了:

这便是欧拉定理

4. 关于构造

有群众会质疑了,这找到费马小定理和欧拉定理看上去差不多的样子,为什么关于余数集合的构造,一个是1~(p-1) 另一个就是参数构成的集合?

首先,恭喜大家已经学会用联系的眼光看待问题了。另外,我要告诉大家这两种构成实际是一样的。只是为了不同的计算比对的方便罢了,关于这一点适合自己慢慢品味。

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