树:23树和红黑树

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23树和红黑树

1. 2-3 查找树

1.1 2-3树定义

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2-节点,含有一个键和两条链接。
3-节点,含有两个键和三条链接
一棵完美平衡的2-3树中所有空链到根节点的距离都应该是相同的。

1.2 2-3树的查找过程

判断一个键是否在树中,先将它和根节点中的键比较,如果它和其中任何一个键相等,则查找命中,否则我们就根据比较的结果来找到指向相应区间的链接,并在指向的子树中递归的进行查找,如果这是个空链接,则查找未命中。

1.2.1 对H的命中查找

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1.2.2 对B的未命中查找

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在AC的中间所指的链去查找,是空链,未命中

1.3 插入

首先进行一次未命中查找,然后将新键插入到树的底部,之所以采取2-3树,是因为这样能够保持平衡,下面来分析如何保持平衡

1.3.1 向2-节点插入新键

如果是向一个2节点插入新建,直接变成3-节点,所有空链到根节点的高度不变。

插入K的过程

K<L,所以去L的左子树中去查找,L的左子树是空,所以未命中,将K插入,把包含L节点的2-节点直接变成3-节点

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1.3.2 向一颗只含有3-节点的树种插入新键

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1.3.3 向一个父节点是2-节点的3-节点插入新键:插入Z

假设未命中查找结束于一个3-节点,而且该3-节点的父节点是2-节点。我们的做法是新键一个4-节点,并将4-节点分解,其中,中键移动到原来的父节点中,也就是原来的2-节点变成3-节点。

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1.3.4 向一个父节点是3-节点的3-节点插入新键:插入D

假设未命中查找结束于一个3-节点,而且该3-节点的父节点是3-节点。我们的做法是新键一个4-节点,并将4-节点分解,其中,中键移动到原来的父节点中,也就是原来的3-节点变成4-节点,然后再进行一次分解,一直向上,直到碰到一个2-节点,或者3-节点的根节点。

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1.4 局部变换

4-节点变成2-3节点,不会影响树的平衡性。

4-节点的分解.png
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1.5 2-3树的生长轨迹

1.png
2.png

2.红黑树

2.1定义

1.红链接均为左链接
2.没有任何一个节点同时和两条红链接相连
3.该树是完美黑平衡的,即任意空链接到根节点上的黑链接数量相同
红链接:将两个2-节点连接起来构成3-节点
黑链接:2-3树种的普通链接

由一条红色左链接相连的2-节点表示一个3-节点.png

2.2 一一对应

如果我们将由红链接相连的节点合并,得到的就是一颗2-3树,相反如果把2-3树中的3-节点画作由红色左链接相连的两个2-节点,那么不会存在和两条红链接相连的节点同时树必然是完美黑平衡的。

红黑树和2-3树的一一对应关系.png

2.3 颜色表示

每个节点都有一条由父节点指向自己的链接,用bool变量来表示链接的颜色,约定空链接的颜色是黑色。

链接的颜色.png
private static final boolean RED = true;
private static final boolean BLACK = false;

public class Node { 

    Key key;//键
    Value value;//值
    Node left,right;//左右节点
    boolean color;//父链接指向自己的链接的颜色
    int N;//节点数
    
    Node(Key key,Value value,int N,boolean color){
        this.key = key;
        this.value = value;
        this.N = N;
        this.color = color;
    } 
}

public boolean isRed(Node x){
    if(x == null) return false;//空链接为黑色
    return x.color;
}

2.4 旋转

左旋右旋.png

2.5 插入

2.5.1 向单个2-节点插入新键

向单个2-节点插入新键.png

2.5.2 向树底部的2-节点插入新键

向树底部插入新键.png

2.5.3 向一颗仅有一个红链接相连的两个节点的树种插入新键

3种情况.png

2.5.4 flipColor

这项操作的重要性质在于它是局部变换,不会影响黑链的平衡性

flipColor.png

2.5.5 根节点永远是黑色的

每次插入都会将根节点设置成黑色,每当根节点由红变黑的时候,黑链接高度就会加1

2.5.6 向树底部的3-节点中插入新键

向树底部的3-节点插入新键.png

2.5.7 红链接向上传递

红链接向上传递.png

2.5.8 红黑树的构造轨迹

红黑树的构造轨迹.png

2.5.9 插入的实现

插入的实现.png

2.6 删除操作

2.6.1 自顶向下的2-3-4树

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2.6.2 删除最小键

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2.6.3 删除最大键

删除最大键.png

2.6.4 删除

删除.png

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