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(11.3)James Stewart Calculus 5th Edition:The Integral Test and Estimates of Sums

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dodo_lihao
2018.03.31 16:39 字数 527

The Integral Test 积分判别

上一节,有一些级数
可以通过一些简单的方法,求和
并且知道了,收敛的级数,是可以求和的
但是,对于具体的收敛或者发散的确认,具体求和还不太清楚
下面一起看看

先看一个级数:


我们简单看一下图像:



对应的和, 就是面积和, 要比积分的面积小
而积分的面积为:


我们可以知道对应的值


(欧拉, 有一个比较复杂的证明, 求出对应的值为 π^2 / 6)

所以,我们知道,对应的级数是收敛的

同理,对于级数


有图像:


也可以得到它是 收敛的

我们可以得到


也就是, f 在 [ 1, +无穷大 ) 连续正,并且递减
我们有上面的结论


例子1


我们知道,对应的 f 在 [ 1, +无穷大 ) 连续正,并且递减
在求对应的积分:


所以,我们知道对应的级数是 收敛的


例子2


在 7.8.2(自己真记不得了)中
我们知道

在 p > 1 的时候, 收敛
在 p <=1 的时候, 发散

所以,我们可以得到对应的定理



例子3




我们根据上面的公式
知道
前面的p >1 ,收敛
后面的p <1 ,发散


Estimating the Sum of a Series 估计级数和

我们先看一下
第n项之后的和:



对应的图像为:



我们可以知道:

同理,对于

我们可以知道:


我们可以得到定理:



例子5


(a)
首先,前10项和,我们直接求就行:



对应的积分为:



我们根据上面公式,有:

所以,对应的误差 小于 0.05

(b)
如果要让误差在0.0005内,则由:



有:



我们可以得到:

也就是需要32项

如果两边都 加上 Sn, 则有:



例子6


根据上面的求和,可以知道范围:






我们可以得到:

即:



我们取中间的值,可以得到:

Proof of the Integral Test 证明积分判别


其实, 上面的例子也说明了
所以,只是简单的文字描述

数学基础
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