如何理解超平面?

超平面的公式

首先明确几个定义:(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中,一条直线是一维的,它把平面分成了两块;三维空间中,一个平面是二维的,它把空间分成了两块。(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。

\mathbb{R}^3空间中,假如有法向量\omega,过原点的平面内任意原点出发的向量x必然与之满足w^Tx=0。如果平面沿着法向量的方向上下平移了,那么这个方程就不成立了。

我们假设平移之后平面经过x'(x_1',x_2',x_3'),平面内任意一点记为x(x_1,x_2,x_3),法向量记为\omega(\omega_1,\omega_2,\omega_3),如下图。

平面公式示意图

不难看出,x-x'在平面内,当然也就和法向量垂直。于是我们有:
\begin{aligned} &(x-x')w=0\\ &(x_1-x_1', x_2-x_2',x_3-x_3')\cdot(\omega_1,\omega_2,\omega_3)=0 \end{aligned}
化简后得:x_1\omega_1+x_2\omega_2+x_3\omega_3=\omega_1x_1'+\omega_2x_2'+\omega_3x_3'。即\omega^Tx=\omega^Tx'。由于其为常数项,令b=-\omega^Tx',于是超平面的公式可以写成:
\omega^Tx+b=0

  1. 这个结论同样适用于R^n空间;
  2. 无论超平面如何平移,系数始终是法向量\omega

点到超平面的距离

点到超平面距离

上图中x是平面外的一点。我们要求的距离记为d,也就是红色的线段。根据三角函数可以得到:\cos{\theta}=\dfrac{d}{||x-x'||}(空间中一点向超平面作垂线,\theta只能是锐角,不必担心正负)。因为d肯定和法向量平行,所以这样来算夹角:|(x-x')\omega|=||x-x'||\cdot||\omega||\cdot\cos{\theta}(因为法向量可能反向,所以给等式左边加上绝对值),联立得:
d = \dfrac{|(x-x')\omega|}{||\omega||}=\dfrac{|\omega x-\omega x'|}{||\omega||}
因为x'在超平面内,\omega x'=-b,于是最后得到的任意点到超平面的距离公式:
d=\dfrac{|\omega x+b|}{||\omega||}