uva12105 越大越好

n根火柴棒,问能摆出的可以被m整除的最大数是多少。
n<=100 m<=3000
“摆出”的意思是以火柴棒作为电子显示屏上数字的一条边,比如1需要2根,2需要5根。

紫书上介绍了两种解法,代码仓库给出了最为简洁的第三种解法。本篇博客只分析快把我磨死了的第三种解法……

首先是dp的定义,简单来说,dp[i][j]表示“最长位数”,i表示“火柴数”,j表示“余数”。

具体来说,这个dp建立在这样一个过程上:从最高位到最低位逐位摆答案,那么在这个过程中的任意一个状态,它都有“已经摆好的部分”和“剩下还没摆的部分”这两个部分,比如说123____,其中123就是已经摆好的部分。一个dp[i][j]对应了一个这样的状态,其中i表示此时还剩下多少火柴,它是考虑剩下还没摆的部分的,j表示已摆数对m的余数,它是考虑已经摆了的部分的(在前例中j就是123对m的余数),而dp[i][j]表示此时没摆的数最多可能有多少位,需要保证摆完之后能被m整除,它是考虑剩下还没摆的部分。

在此定义下,本题的最终答案的位数就是d[n][0],就是什么也没写的时候,相当于写下的部分是0,余数当然就是0,剩下的火柴数是n,d[n][0]就是剩下部分最大可能位数。

接下来看状态转移,对d[i][j]而言,已经写好的部分具体是多少是无所谓的,只需要知道它对m的余数是j,并且用掉了n-i根火柴。我们关心的是没有写的部分最长位数是多少,那么决策就来了,没有写的部分的首位只可能是0~9,容易理解,假如最优解里没有写的部分的首位是x,那么d[i][j]=d[i-k[x]][(10*j+x)%m]+1,其中k[x]是数字x的笔画数。枚举完x,即可递推出d[i][j]的值,与此同时,如果从大到小枚举x,还能得出在位数最大的前提下,下一位(也就是x)最大是多少,将这个最大的x记录在p[i][j]中,表示剩余i根火柴、已写数对m余j,并在确保未写数的位数最大的前提下,下一个数字最大写多少。

那么p[n][0]就表示什么都没写时,在确保未写数的位数最大的前提下,能写的第一个数最大是多少,然后转移到p[n-k[x]][(0*10+x)%m],表示已写数满足限制,并确保未写数的数位最大,下一位最大写多少。以此类推,就能输出答案。

另外,再考虑初始条件,d[i][0]的状态表示还有i根火柴,前面的数已经能被m整除,那么至少有d[i][0]>=0,而d[0][j(>0)]则是无效状态,不应该参与后续的转移。对于不能由任何先前状态转移到的状态需要标记成无效,对于j==0的状态初始应标记为0。

源代码见代码仓库