应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?

大学的时候,我的《概率论和数理统计》这门课一共挂过3次,而且我记得最后一次考过的时候刚刚及格,只有60分。你可以想象我的《概率论》这门课学的是有多差了。后来,我工作以后,在学习数据分析技能时,又重新把《概率论》这本书学了一遍。原来之前一直没学好这门课的很重要一个原因就是,这门课涉及很多基础的概念,而我当初就是对这些概念非常不理解。

今天我就讲讲应该如何理解概率分布函数和概率密度函数的问题。是不是乍一看特别像,容易迷糊。如果你感到迷糊,恭喜你找到我当年的感觉了。

先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

对于如何分辨离散型随机变量和连续性随机变量,我这里先给大家举几个例子:

1、一批电子元件的次品数目。

2、同样是一批电子元件,他们的寿命情况。

在第一个例子中,电子元件的次数是一个在现实中可以区分的值,我们用肉眼就能看出,这一堆元件里,次品的个数。但是在第二个例子中,这个寿命它是一个你无法用肉眼数的过来的数字,它需要你用笔记下来,变成一个数字你才能感受它。在这两个例子中,第一例子涉及的随机变量就是离散型随机变量,第二个涉及的变量就是连续型随机变量。

在贾俊平老师的《统计学》教材中,给出了这样的区分:

如果随机变量的值可以都可以逐个列举出来,则为离散型随机变量。如果随机变量X的取值无法逐个列举则为连续型变量。

我始终觉得,贾老师这么说,对于我们这些脑子笨又爱钻牛角尖的学生来说,还是不太好理解。所以我就告诉大家一个不一定非常严谨,但是绝对好区分的办法。

只要是能够用我们日常使用的量词可以度量的取值,比如次数,个数,块数等都是离散型随机变量。只要无法用这些量词度量,且取值可以取到小数点2位,3位甚至无限多位的时候,那么这个变量就是连续型随机变量!

对了,如果你连随机变量这个概念还不理解的话,我送你一句贾俊平老师的话:

如果微积分是研究变量的数学,那么概率论与数理统计是研究随机变量的数学。

再来理解离散型随机变量的概率分布,概率函数和分布函数

在理解概率分布函数和概率密度函数之前,我们先来看看概率分布和概率函数是咋回事。一下子又冒出来两个长得差不多的概念!没事,他们长得差不多,实际代表的含义其实也差不多!

在讲概率函数和概率分布之前,我想先讲讲为什么我们花这么大的力气去研究这个概念。因为它实在太重要了,为什么呢?在这里,我直接引用陈希孺老师在他所著的《概率论与数理统计》这本书中说的:

研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何!

这句是本文的核心内容,你要牢牢记得,我们这篇文章里的所有概念都在是描述一件东西,那就是概率!概率!概率!什么概率密度啦,概率分布啦,概率函数啦,都是在描述概率!

概率分布和概率函数这两个概念,我想先从概率函数开始讲。概率函数,就是用函数的形式来表达概率。

pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)

在这个函数里,自变量(X)是随机变量的取值,因变量(pi)是取值的概率。这就叫啥,这叫用数学语言来表示自然现象!它就代表了每个取值的概率,所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。从公式上来看,概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P(X=1)=1/6,这代表用概率函数的形式来表示,当随机变量取值为1的概率为1/6,一次只能代表一个随机变量的取值。

接下来讲概率分布,顾名思义就是概率的分布,这个概率分布还是讲概率的。我认为在理解这个概念时,关键不在于“概率”两个字,而在于“分布”这两个字。为了理解“分布”这个词,我们来看一张图。

离散型随机变量的值和概率的分布列表

在很多教材中,这样的列表都被叫做离散型随机变量的“概率分布”。其实严格来说,它应该叫“离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表”,这个名字虽然比“概率分布”长了点,但是对于我们这些笨学生来说,肯定好理解了很多。因为这个列表,上面是值,下面是这个取值相应取到的概率,而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来了!

举个例子吧,一颗6面的骰子,有1,2,3,4,5,6这6个取值,每个取值取到的概率都为1/6。那么你说这个列表是不是这个骰子取值的”概率分布“?

长得挺像的,上面是取值,下面是概率,这应该就是骰子取值的“概率分布”了吧!大错特错!少了一个最重要的条件!对于一颗骰子的取值来说,它列出的不是全部的取值,把6漏掉了!

这么一说你就应该明白概率分布是个什么鬼了吧。说完概率分布,就该说说分布函数了。这个分布函数又是个简化版的东西!我真的很讨厌我们的教材中老是故弄玄虚,卖弄概念!你就老老实实的写成”概率分布函数“,让我们这些笨学生好理解一些不行吗?

看看下图中的分布律!这又是一个不统一叫法的丑恶典型!这里的分布律明明就是我们刚刚讲的“概率函数”,完全就是一个东西嘛!但是我知道很多教材就是叫分布律的。

概率分布函数就是把概率函数累加

我们来看看图上的公式,其中的F(x)就代表概率分布函数啦。这个符号的右边是一个长的很像概率函数的公式,但是其中的等号变成了大于等于号的公式。你再往右看看,这是一个一个的概率函数的累加!发现概率分布函数的秘密了吗?它其实根本不是个新事物,它就是概率函数取值的累加结果!所以它又叫累积概率函数!其实,我觉得叫它累积概率函数还更好理解!!

概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面,它们都只是描述概率的不同手段!

连续型随机变量也有“概率函数”和“概率分布函数”吗?

有!连续型随机变量也有它的“概率函数”和“概率分布函数”,但是连续型随机变量的“概率函数”换了一个名字,叫做“概率密度函数”!为啥要这么叫呢?我们还是借用大师的话来告诉你,在陈希孺老师所著的《概率论与数理统计》这本书中,

如果这么解析你还是不太懂的话,看看下面的这个公式:

概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数,定积分在数学中是用来求面积的,而在这里,你就把概率表示为面积即可!


左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形,右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像,它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数。

两张图一对比,你就会发现,如果用右图中的面积来表示概率,利用图形就能很清楚的看出,哪些取值的概率更大!这样看起来是不是特别直观,特别爽!!所以,我们在表示连续型随机变量的概率时,用f(x)概率密度函数来表示,是非常好的!

这篇文章只是我个人对于这些概念的一些比较取巧的理解,如果你想更加深刻,精确的理解这些概念,我推荐大家读一下陈希孺老师的《概率论与数理统计》这本书,这本书对于这些概念的理解非常有帮助!

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