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iOS世界里的贝塞尔曲线(一):贝塞尔曲线基础

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pandaApe
2017.06.26 20:41* 字数 1288

一、前言

本系列文章通过介绍 贝塞尔曲线 的基础知识,贝塞尔曲线在iOS中的应用以及一些高级技巧,循序渐进,试图让读者对iOS的中贝塞尔曲线知识有一个较系统的认识。

你可能在很多地方听说过贝塞尔曲线,但是贝塞尔曲线到底是什么,它有什么特性能让它有这么高的知名度,它到底有什么用呢?

二、贝塞尔曲线简介

1. 贝塞尔曲线 是什么


头一次听,可能以为他和牛顿定律,斐波那契数列一样是由一个名字叫贝塞尔的人发明的,然而并不是。其实贝塞尔曲线的数学基础最早是1912年就在当世广为人知的伯恩斯坦多项式,那什么又是伯恩思坦多项式呢,简单地说,伯恩斯坦多项式是用来证明,在 [a, b]区间上所有的连续函数都可以多项式来逼近,并且一致收敛,再简单地说,就是在一个连续函数,你可以将它写成n个伯恩思坦多项式相加的形式,并且随着n 趋向于无穷大,这个多项式将一致收敛到原函数。

听不懂,没关系,继续往下看。

虽然在1912年就已经被发现,但是其对图形的适用性在半个世纪内者也没有被实现,直到1959年在雪铁龙汽车就职的数学家 Paul de Casteljau,开始对伯恩斯坦多项式进行图形化的尝试,并推出一种新的数值稳定(即在求伯恩斯坦多项式的时候不会引入数值误差)递归算法 de Casteljau 算法用来伯恩斯坦多项式。根据这个算法,就可以只通过很少的控制点,去生成复杂的平滑曲线,也就是贝塞尔曲线。

而贝塞尔曲线的成名,得益于法国工程师 Pierre Bézier ,他将这种算法用来辅助雷诺汽车的车体工业设计,并且得到广泛宣传。

2. 现实应用

正是因为其绘制简便却具有极强的描述能力,贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的推广和应用。随后随着计算机技术的发展,在计算机图形学领域,尤其是矢量图形学,贝塞尔曲线也占有了重要的地位。

今天我们使用的绘图软件,Illustrator、CorelDraw 等,无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件,也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具(钢笔工具)包含其中。

CorelDraw.png
image.png

这里的一个网站可以在线模拟钢笔工具的使用:http://bezier.method.ac/

推广到三维空间的贝塞尔曲面,以及更进一步的非均匀有理 B 样条(NURBS),早已成为当今计算机辅助设计(CAD)的行业标准,不论是我们平常用到的各种产品,还是在电影院看到的精彩大片,都少不了它们的功劳。

曲面.png
用于汽车设计

二、如何绘制贝塞尔曲线

下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。

  1. 画线段AC,BC, 相交于C点.
  2. 在线段AC取点D,BC上取点E使 AD:DC = CE:EB 。 如下图所示:
image.png

3.连接点D、E
4.在线段DE上取点F,使 AD:DC = CE:EB = DF:FE。 如下图:

image.png

那么我们就找到了贝塞尔曲线上的点F,这时让选取的点 D 在线段AB上从起点 A 移动到终点 B,找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后,我们也得到了这条贝塞尔曲线。如下图:

image.png

如果你实在想象不出这个过程,没关系,看动画!

bezierPath.gif

这样就画出了一条贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线的一个比较好的动态演示网站:http://myst729.github.io/bezier-curve

三、多次(阶)贝塞尔曲线

回过头来看这条贝塞尔曲线,

为了确定曲线上的一个点,需要在线段AC和BC上进行取点的操作,A、B、C三个点被称为控制点,因此我们称得到的曲线为二(控制点个数n-1)次贝塞尔曲线。

根据控制点的个数,贝塞尔曲线被分为一次贝塞尔曲线,二次贝塞尔曲线(3个控制点)、三次贝塞尔曲线(4个控制点)等等,以此类推。

二次贝塞尔曲线.gif
三次贝塞尔曲线.gif
四次贝塞尔曲线.gif

还有只有两个控制点的一次贝塞尔曲线,没错是一条线段,它是贝塞尔曲线的特殊情况:


四、附

综上可以看出使用贝塞尔曲线可以画出各式各样的圆形,也可以画出一条直线段。另外,贝塞尔曲线有以下两个重要的特性:

  • 贝塞尔曲线总会通过第一个和最后一个控制点。曲线始点处的切线落在前两个控制点的连线上,曲线终点处的切线落在后两个控制点的连线上。
切线位置.png
  • 贝塞尔曲线始终在控制点围成的凸多边形内。
多边形包含曲线。第一个和最后一个控制点重合会形成闭合的贝塞尔曲线.png

五、至此

至此我们了解了贝塞尔曲线的基本知识。

开发笔记
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