高中生如何理解比特币加密算法

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胡飞瞳
0.1 2018.12.16 20:36 字数 2566

加密算法是数字货币的基石,比特币的公钥体系采用椭圆曲线算法来保证交易的安全性。这是因为要攻破椭圆曲线加密就要面对离散对数难题,目前为止还没有找到在多项式时间内解决的办法,在算法所用的空间足够大的情况下,被认为是安全的。本文不涉及高深的数学理论,希望高中生都能看懂。

公钥加密体系,素数及有限域

密码学具有久远的历史,几乎人人都可以构造出加解密的方法,比如说简单地循环移位。古老或简单的方法需要保密加密算法和秘钥。但是从历史上长期的攻防斗争来看,基于加密方式的保密并不可靠,同时,长期以来,秘钥的传递也是一个很大的问题,往往面临秘钥泄漏或遭遇中间人攻击的风险。

上世纪70年代,密码学迎来了突破。Ralph C. Merkle在1974年首先提出非对称加密的思想,两年以后,Whitfield Diffie和Whitfield Diffie两位学者以单向函数和单向暗门函数为基础提出了具体的思路。随后,大量的研究和算法涌现,其中最为著名的就是RSA算法和一系列的椭圆曲线算法。

无论哪一种算法,都是站在前人的肩膀之上,主要以素数为研究对象的数论的发展,群论和有限域理论为基础。内容加密的秘钥不再需要传递,而是通过运算产生,这样,即使在不安全的网络中进行通信也是安全的。密文的破解依赖于秘钥的破解,但秘钥的破解面临难题,对于RSA算法,这个难题是大数因式分解,对于椭圆曲线算法,这个难题是类离散对数求解。两者在目前都没有多项式时间内的解决办法,也就是说,当位数增多时,难度差不多时指数级上升的。

那么加解密如何在公私钥体系中进行的呢?一句话,通过在一个有限域内的运算进行,这是因为加解密都必须是精确的。一个有限域就是一个具有有限个元素的集合。加密就是在把其中一个元素映射到另一个元素,而解密就是再做一次映射。而有限域的构成与素数的性质有关。

前段时间,黎曼猜想(与素数定理关系密切)被热炒的时候,有一位区块链项目的技术总监说椭圆曲线算法与素数无关,不受黎曼猜想证明的影响,就完全是瞎说了。可见区块链项目内鱼龙混杂,确实需要好好洗洗。

离散对数问题

比特币及多数区块链项目采用的公钥体系都是椭圆曲线算法,而非RSA。而介绍椭圆曲线算法之前,了解一下离散对数问题对其安全性的理解很有帮助。

先来看一下费马小定理

设P为素数,对于每个与P互素的整数a,均有(a的p-1次方除P余1):

原根定义:
设(a, p)=1 (a与p互素),满足

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的最下正整数 l,叫作a模p的阶,模p阶为(最大值)p-1的整数a叫作模p的原根。

两个定理:

  1. 每个素数均存在原根;

  2. 设g是模p的原根,则p-1个数:

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基于此,我们可以看到,{1, 2, 3, … p-1} 就是一个有限域,而且定义运算 gi (mod p), 落在这个有限域内,同时,当i取0~p-2的不同数时,运算结果不同。这和我们在高中学到的求幂基本上是一样的,只不过加了一层求模运算而已。

另一点需要说明的是,g的指数可以不限于0~p-2, 其实可以是所有自然数,但是由于

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所以,所有的函数值都是在有限域内,而且是连续循环的。

离散对数定义:
设g为模p的原根,(a,p) = 1,

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我们称 i 为a(对于模p的原根g)的指数,表示成:

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这里ind 就是 index的前3个字母。
这个定义是不是和log的定义很像?其实这也就是我们高中学到的对数定义的扩展,只不过现在应用到一个有限域上。

但是,这与实数域上的对数计算不同,实数域是一个连续空间,其上的对数计算有公式和规律可循,但往往很难做到精确。我们的加密体系里需要精确,但是在一个有限域上的运算极为困难,当你知道幂值a和对数底g,求其离散对数值i非常困难。

当选择的素数P足够大时,求i在时间上和运算量上变得不可能。因此我们可以说i是不能被计算出来的,也就是说是安全的,不能被破解的。

椭圆曲线算法

比特币的椭圆曲线算法具体而言采用的是 secp256k1算法。网上关于椭圆曲线算法的介绍很多,这里不做详细阐述,大家只要知道其实它是一个三次曲线(不是一个椭圆函数),定义如下:

image

那么这里有参数a, b;取值不同,椭圆曲线也就不同,当然x, y 这里定义在实数域上,在密码体系里是行不通的,真正采用的时候,x, y要定义在一个有限域上,都是自然数,而且小于一个素数P。那么当这个椭圆曲线定义好后,它反应在坐标系中就是一些离散的点,一点也不像曲线。但是,在设定的有限域上,其各种运算是完备的。也就是说,能够通过加密运算找到对应的点,通过解密运算得到加密前的点。

同时,与前面讲到的离散对数问题一样,我们希望在这个椭圆曲线的离散点阵中找到一个有限的子群,其具有我们前面提到的遍历和循环性质。而我们的所有计算将使用这个子群。这样就建立好了我们需要的一个有限域。那么这里就需要子群的阶(一个素数n)和在子群中的基点G(一个坐标,它通过加法运算可以遍历n阶子群)。

比特币的椭圆曲线算法 secp256k1

根据上面的描述,我们知道椭圆曲线的定义包含一个五元祖(P, a, b, G, n, h);具体的定义和概念如下:

P: 一个大素数,用来定义椭圆曲线的有限域(群)
a, b: 椭圆曲线的参数,定义椭圆曲线函数
G: 循环子群中的基点,运算的基础
n: 循环子群的阶(另一个大素数,< P )
h:子群的相关因子,也即群的阶除以子群的阶的整数部分。

好了,是时候来看一下比特币的椭圆曲线算法是一个怎样的椭圆曲线了。简单地说,就是上述参数取以下值的椭圆曲线:

  • 大素数 p = FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE FFFFFC2F = 2256 - 232 - 29 - 28 - 27 - 26 - 24 - 1

  • 在有限域 Fp 上定义的曲线方程为E: y2 = x3+ax+b 定义为:

  • a = 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

  • b = 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000007

  • 基点G的坐标和压缩形式

  • G = 04 79BE667E F9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798 483ADA77 26A3C465 5DA4FBFC 0E1108A8 FD17B448 A6855419 9C47D08F FB10D4B8

  • G = 02 79BE667E F9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798 (压缩形式)

  • 子群的阶 和 相关因子

  • n = FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAEDCE6 AF48A03B BFD25E8C D0364141

  • h = 01

椭圆曲线的加法

椭圆曲线定义了加法,其定义是两个点相连,交与图像的第三点的关于x轴的对称点为两个点的和。网上这部分内容已经有很多,这里不就其细节进行阐述。

但细心的同学可能有个疑问,离散对数问题的难题表现在求幂容易,但求其指数非常难,然而,椭圆曲线算法中,没有求幂,只有求乘积。这怎么体现的是离散对数问题呢?

其实,这是一个定义问题,最初椭圆曲线算法定义的时候把这种运算定义为求和,但是,你只要把这种运算定义为求积,整个体系也是没有问题的。而且如果定义为求积,你会发现所有的操作形式上和离散对数问题一致,在有限域的选择的原则上也是一致的。所以,本质上这还是一个离散对数问题。但又不完全是简单的离散对数问题,实际上比一般的离散对数问题要难,因为这里不是简单地求数的离散对数,而是在一个自定义的计算上求类似于离散对数的值。这也是为什么椭圆曲线算法采用比RSA所需要的(一般2048位)少得多的私钥位数(256位)就非常安全了。

区块链
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