函数的极限

一、概念

y=f(x) 一元函数

函数自变量的变化趋势:

  • 自变量趋向于定点

    • x->x0 代表x从x0的左右两边趋向于x0;


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  • 自变量趋向于无穷


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自变量趋向于定点时函数的极限:靠近谁,谁就是极限

  • X从数轴两边趋向于定点X0


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  • 从数轴左边趋向于定点X0


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  • X从数轴右边趋向于定点X0


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自变量趋向于无穷时函数的极限

  • X从数轴向两边趋向无穷时:


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  • X从数轴向最小边取向,也就是趋向负无穷时:


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  • X从数轴向最大边取向,也就是趋向正无穷时:


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上图三张图 当前 函数f(x) 的极限是都是0;

二、计算

多项式求极限:

将自变量趋向的值直接代入函数中,所得值就是极限;


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有理式求极限:

  • 1、自变量x趋向于定点x0时,先将x0代入分母,再代入分子;


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  • 例子(1):代入后分母不等于0等情况 (注意:这里的0不是完全等于0,而是值无限接近于0)


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  • 例子(2):代入后分母等于0,分子不等于0,极限是零 。和 代入后分子/分母等于0,极限要约去零因式(零因式:导致式子为0的式子);


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  • 2、自变量x趋向于无穷(只看最高次项)


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  • 3、分子,分母有理化


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重要极限公式

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无穷

自变量趋向定点(x->x0)或无穷(x->无穷)时候,f(x)趋向无穷小或无穷大;

  • 无穷小乘以有界函数还是无穷小
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  • 无穷大与无穷小关系


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  • 无穷小的比较


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  • 一些重要的无穷小等价(**必须记住**

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  • 无穷小等价代换,在函数极限运算中用(注意:乘除可用,加减不可用
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