最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：
- 证明当n = 1时命题成立。
- 证明如果在n = m时命题成立，那么可以推导出在n = m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
- 证明第一张骨牌会倒。
- 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
例如：等差数列求和公式：
1 + 2 + 3 + ··· + n = n (n+1) / 2
根据数学归纳法，这个问题应该这样证明：
- 当n = 1时，1 = 1 * 2 / 2成立；
- 假设n = n - 1时，1 + 2 + 3 + ··· + (n - 1) = (n - 1) n / 2成立，那么
原式左 = 1 + 2 + 3 + ··· + (n - 1) + n
= (n - 1) n / 2 + n
= n (n+1) / 2
= 原式右- 得证。
为什么要说这个呢？
其实在程序设计中，递归就用到了这个思想。
如果将上例运用递归用编程语言写出来如下：
public int sum(int n){
if(n < 1){
return -1;
}
if(n == 1){
return 1;
}
//假设n - 1成立，这是一般的情况。
//在代码书写中，先将一般的情况写出来构建出递归的框架，然后再去排除特殊的情况，以便完成递归。
return sum(n - 1) + n;
}
可以发现，这段代码将数学归纳法的思想恰当的体现了出来。
最后我们总结一下递归代码的书写方法：
递归书写方法：
- 严格定义递归函数作用，包括参数，返回值，side-effect
- 先一般，后特殊
- 每次递归必须缩小问题规模
- 每次问题缩小规模程度必须为1
