Prim算法详解

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Prim算法是干什么的?

Prim算法可以计算出一个无向加权图的最小生成树

什么是最小生成树?

首先,树两个最重要的性质是①用一条边连接树中的任意两点都会产生一个新的环从树中删除一条边将会得到两棵独立的树,最小生成树即为连接图中所有点,且总权重最小的树。最小生成树的性质:将图中的点分为两个集合,横跨两个集合的边中权重最小的边必在最小生成树中(并不只有权重最小边在树中)

最小生成树的性质的证明:

用反证法,如果权重最小的边 e 不在树中,那和它横跨两个相同的集合且权重比它大的边 f 树一定在树中,如果把 e 加入树中,再将 f 删除,则得到一个权重更小的树,所以 e 必在树中

Prim算法如何进行计算?

①选定一个点做为一个集合 a ,剩下的点为另一个集合 b
②将横跨两个集合且权重在其中最小的边加入最小生成树
③将刚刚加入最小生成树的边中不在集合 a 中的点加入集合 a,直到所有的点加入集合 a

具体到代码如何计算?

class MST {
    private boolean[] marked; //点是否已在树中
    private double[] distTo; //点到树的距离
    private ArrayList<Edge> mst; //最小生成树
    private EdgeWeightedGraph G; //要处理的图
    private TreeMap<Double, Edge> pq; //保存一个点到树距离最短的边和那个距离 按距离从小到大的优先队列
    
    public MST(EdgeWeightedGraph G) {
        this.G = G;
        int V = G.V();
        marked = new boolean[V];
        distTo = new double[V];
        mst = new ArrayList<>();
        pq = new TreeMap<>();
        //将所有点到树的距离设置为正无穷
        for (int i = 0; i < distTo.length; i++)
            distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;
        //0到0的距离为0
        distTo[0] = 0;
        visit(0);
        Edge tEdge;
        
        while (!pq.isEmpty()) {
            tEdge = pq.remove(pq.firstKey()); //从优先队列中取出距离树最短的边
            mst.add(tEdge); //加入树中
            //更新优先队列
            int v = tEdge.either(); //either()返回边的任意一个点
            if (!marked[v]) visit(v);
            else            visit(tEdge.other(v)); //other(v)返回除v外的另一个节点
        }
    }
    /*
     * 将v的边加入优先队列
     */
    private void visit(int v) {
        marked[v] = true;
        for (Edge e : G.adj(v)) { //adj(v)返回该点的所有边
            int w = e.other(v);
            double weight = e.weight();
            //如果发现了使此点到树的距离更小的通路,则更新优先队列
            if (weight < distTo[w]) {
                //如果以前已经存过这个点w到最小生成树的边了 现在找到了权重更小的所以把它删除
                pq.remove(distTo[w]);
                distTo[w] = weight; //更新最小距离
                pq.put(weight, e); //插入优先队列
            }
        }
    }
    
    public Iterable<Edge> edgs() { return mst;}
}

将树所有邻近的点的到树距离最短的边全部加入优先队列,从队列中拿出最短的边,将其加入树中
pq始终保存着树旁边所有的节点到树的最短距离


①将0加入mst,将0-7,0-2,0-4,0-6加入优先队列,其中0-7的权重最小
②将7加入mst,将7-1,7-4(因为发现了比0-4到树距离更小的边所以删了0-4,加入7-4),7-5,(7-2不加入因为原来的距离更小),其中7-1权重最小

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