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从科学角度分析“三个和尚没水喝”背后的知识

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周鶏
2017.01.17 22:24* 字数 2064

文章也同时在个人博客 http://kimihe.com/更新

引言

“一个和尚挑水喝,两个和尚抬水喝,三个和尚没水喝。”相信大家对上面这则故事一定不陌生。对于该故事寓意的解释有很多,例如要团结合作,合理分工,按劳分配等等。

看似是小学作文素材的故事,仔细思考后其蕴涵的科学原理仍旧会让人大开眼界。本文就带领大家挖掘一下其背后的科学解释。

概述

故事的内容大致就是关于几个和尚挑水喝而产生的劳动与分配矛盾,重点是围绕和尚们挑水或不挑水,这会导致故事不同的结局。

无论有多少个和尚,在该故事中他们都有两个选择,即挑水或不挑水。他们自觉地根据自己的最优利益进行决策,而这些决策有时候会导致大家的利益都受到损害。上述的“决策”一词正是本文想要谈论的核心,决策在科学研究中有专门的一个领域,名叫:博弈论

博弈论

定义

利益冲突伴随着人类社会发展的始终,在人与人之间存在矛盾与竞争时,参与者所进行的行为选择,我们可以称之为“博弈”。古代田忌赛马的故事是运用博弈论的一个典型案例。但博弈论目前还没有准确完备的定义,

博弈论可以看作是多人决策理论,即两个及以上的参与者之间的决策理论。并且我们通常假设每个参与者都是理性的,即在面临给定的约束条件下会主动地最大化自己的收益。

组成元素

博弈的基本元素包括:参与者(Player),行动(Action),信息(Information),策略(Strategy)支付(或报酬,Payoff),理性(Rationality),目标(Objective),行动顺序(Order of Play),结果(Outcome)和均衡(Equilibrium)。

众多术语可能会令读者感到困惑,针对本文要分析的“和尚喝水问题”,我们可以只关注上述加粗的部分,这是最关键的五个核心要素。

模型

我们可以把问题建模成如下:

  • 参与者为和尚 T = {1,2,3};
  • 每个参与者都有各自的非空策略空间S,在这里就是{挑水,不挑水};
  • 每个参与者有自己的支付函数(即收益)u,体现为:喝到水的收益与挑水付出的劳动之差。
  • 为简化问题,我们假设每个参与者的决策没有先后顺序,即他们同时作出决定。
  • 最终参与者会达到一种博弈的平衡状态,在此状态下每个参与者都实现了自身利益的最大化,我们称之为:均衡。

纳什均衡(Nash Equilibrium)

这里我们着重介绍一下纳什均衡的概念,上述的平衡状态即属于纳什均衡。我们定义:每一个参与者的收益达到了一种最大化的平衡,在该状态下,任何一个参与者一旦选择其它策略,那么他的收益将会减少或者不变,但绝对不会增加。根据是否会严格减少,我们可以将纳什均衡分为强纳什均衡弱纳什均衡。我们通常研究强纳什均衡。

由于参与者的个数较少,决策也有限,我们可以枚举出所有策略下每个参与者的支付函数,以此直观地来探究纳什均衡时的实际意义。

问题分析

我们假设参与者个数为n。每个参与者挑一次水需要付出的劳动为C,一个参与者每次挑到水的毛收益为G。所有的水需要平分给大家,于是每个人的收益为G/n。最终每个参与者的净收益则为:G/n-C

一个参与者

对于一个和尚的情况,很显然他必需要去挑水,否则收益为0。或者说与其坐等口渴不如去挑水,让自己的收益更大。只要满足G>C即可,这是显然成立的。

两个参与者

对于A和B两个和尚,我们可以得到如下“支付矩阵”:

B挑水 B不挑水
A挑水 u11(G-C, G-C) u12(G/2-C, G/2)
A不挑水 u21(G/2, G/2-C) u22(0, 0)

故事中,两个和尚抬水喝,说明这是他们达成的纳什均衡。根据纳什均衡的定义,此时,任何一个参与者一旦选择其它策略就会损害自己的收益,也就是说u11的收益是最好的,此时A和B都选择挑水。

以A为例,一旦他选择不挑水,支付函数u就会从u11转到u12,此时要满足纳什均衡的条件,则要求:

  • G-C > G/2-C;
  • G-C > G/2;

解得:

  • G > 0;
  • G > 2C;

第一点说明挑水的毛收益要大于0,这一点肯定是满足的,除非水桶是漏的。而第二点中,毛收益要大于付出劳动的两倍,在现实生活中这一点也是很容易满足的,没有人愿意为了接一杯水而下山,一般都会一次性挑尽可能多的水。

三个参与者

A,B,C三个和尚进行博弈,我们同上分析可以得到8种情况:

支付函数ui
A挑水, B挑水, C挑水 u111(G-C, G-C, G-C)
A挑水, B挑水, C不挑水 u110(2G/3-C, 2G/3-C, 2G/3)
A挑水, B不挑水, C挑水 u101(2G/3-C, 2G/3, 2G/3-C)
A挑水, B不挑水, C不挑水 u100(G/3-C, G/3, G/3)
A不挑水, B挑水, C挑水 u011(2G/3, 2G/3-C, 2G/3-C)
A不挑水, B挑水, C不挑水 u010(G/3, G/3-C, G/3)
A不挑水, B不挑水, C挑水 u001(G/3, G/3, G/3-C)
A不挑水, B不挑水, C不挑水 u000(0, 0, 0)

故事中三个上最后都没有去挑水,纳什均衡是u000。同样根据均衡的定义,我们可以如下分析,首先从u111入手,此时大家都去挑水,收益都为G-C。但其中一个人(以C为例)发现自己不挑水反而收益更高,于是C不挑水,此时u111跳转到u110,根据此时C收益更多,我们要满足:

  • G-C < 2G/3;

接着另外一个人发现u110(以B为例)情况下,自己不挑水也收益更多,于是B也不挑水,u110条转到u100,同理要求满足:

  • 2G/3-C < G/3;

最终A也发现自己要吃亏,因为自己付出了劳动却要平分给三个人,可能会让自己入不敷出,于是也决定不挑水,u100跳转到了u000,此时满足:

  • G/3-C < 0;

三式联立我们可以解得:

  • G < 3C;

在三个和尚博弈的模型中,大家都是理性的,只要挑一次水的毛收益低于付出劳动的三倍,最终必然会导致三个和尚都不去挑水。而在现实生活中,上述不等式是可能成立的,例如那个水桶较小。

总结

至此大家应该对和尚喝水的寓言有了更深的理解,同时本文也抛砖引玉地向大家展现了博弈论的作用。

博弈论起源于经济学,感谢博弈论大师约翰·纳什在其开创性论文《n人博弈的均衡点》[1]和《非合作博弈》[2]中给出了纳什均衡(Nash Equilibrium)的概念和均衡存在性定理。

如今博弈论已经在众多非经济学科学领域崭露头角,成为了一种求解最优化问题的有力工具。

参考文献

  • [1] Nash J F. Equilibrium points in n-person games[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1950, 36(1):48-49.
  • [2] Nash J. Non-Cooperative Games[J]. Ann.math.stud, 1951, 54(3):286-295.
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