dp---背包

01背包

n种物品,一个承重量为m的背包,每种物品最多只能拿一个或者不拿,且每个物品都有价值v[i]和重量w[i],问怎么拿使背包内物品价值最大。
定义dp[i][j]表示走到第i个物品,背包重量为j时的价值。
转移方程dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
dp[i-1][j]表示不拿当前物品,背包重量为j时的价值
dp[i-1][j-w[i]] + v[i]表示当前拿过后,背包重量为j时的价值

for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=0; j<=m; j++){
        if(j >= w[i]){//当前承重量为j时能放进
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
        }else
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    }
}
 //dp[n][m]就是最大价值

可以发现处理第i个物品时,只需要知道i-1的状态就行了。
滚动数组优化:

for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=m; j>=w[i]; j--){//一定是从m到w[i],反了是完全背包了
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
    }
}
//dp[m]就是最大价值

注意for(int j=m; j>=w[i]; j--),一定是从大到小,容量大的状态需要通过容量小的状态转移过来。如果先更新容量小的状态,就会重复计算,变成完全背包。

完全背包

只有一个条件跟01背包不一样,每种物品有无数个,随便拿。
转移方程dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]), 0 <= k*w[i] <= m
这里k就是拿的数量。
还是可以用滚动数组

for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=w[i]; j<=m; j++){//从w[i]到m,跟01相反
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
    }
}
//dp[m]就是最大价值

先更新小的会影响大的,很巧妙的地方就是利用重复计算达到拿多个的目的。

多重背包

只是跟前两个背包条件不一样,现在每种物品有num[i]
转移方程dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]), 0 <= k <= num[i] 且 k*w[i] <= m
跟完全背包差不多。
使用滚动数组:

void _01(int w, int v, int m){//01背包,
    for(int i=m; i>=w; i--){
        dp[i] = max(dp[i], dp[i-w] + v);
    }
}
void _all(int w, int v, int m){//完全背包
    for(int i=w; i<=m; i++){
        dp[i] = max(dp[i], dp[i-w] + v);
    }
}
//利用上面两个函数,多重背包如下
for(int i=1; i<=n; i++){//遍历每种物品
    if(num[i]*w[i] > m){
        //背包装不下所有当前物品,就可以看做完全背包
        _all(w[i], v[i], m);
    }else{
        //装的下就进行多次01背包
        //如果num[i] = 10
        //每次拿 1 2 4 3 个
        //这里相当于拿了10轮,这么处理更快
        int k=1;
        while(k<num[i]){
            _01(k*w[i], k*v[i], m);
            num[i] -= k;
            k <<= 1;
        }
        _01(num[i]*w[i], num[i]*v[i], m);
    }
}
//dp[m]就是结果

总结

三种背包都不算难,不用滚动数组更好理解,不需要用滚动数组的时候直接套转移方程正常dp就行。

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