数学教学思考

从2018年9月开始,今年已是执教的第3年了。在这3年里,跟随着团队,聆听、阅读、思考、实践、反思……逐渐积累了一些对教育的认识与看法。现在,尝试着把自己两年多的所学、所为、所思、所感,做一次系统的梳理。

自言自语,自问自答,权当装一次沉思者,哈哈。

1、数学到底在学什么?

这个问题等同于“为什么学习数学?”、“学习数学有什么用?”。

课堂上,不止一个学生,也不止一次的问过我,“老师,我们学这些数学到底有什么用?以后买菜又用不到”。起初,我觉得这只是学生们的一句戏言,就直接回复到,“人这一生,又不是只有买菜,做其他事情,还是可以用到的”。

后来他们问的多了,越发觉得事实没那么简单。进入青春期后,学生的思想明显发生了变化,最大的不同就是开始追问各种意义,学这些有什么用,做那些有什么用,甚至会琢磨活着的意义是什么。其实,这是人的一生所必经的阶段,人与动物最大、最本质的不同也就体现在这里。对此无需大惊小怪,真正要引起我们重视的,是合理的引导。

回想自己的初中,有一段时间也思考过这个问题,思考的结果就是:好像没什么用。于是在学习上就有些松懈,好在及时“迷途知返”。但扪心自问,我其实没有真正解决这个问题,所以在高中阶段,我始终都缺乏内在的学习动力。虽然最后的高考成绩马马虎虎,但真的可以更好。

缺乏内在学习动力的危害性,主要出现在进入大学之后,涉及范围之广,情况之严重,已经不需要再多说一句了……

回到“学数学有什么用”这个问题,相信不止学生,包括很多成人,对此都会有很深的疑问,以至于出现了“死知识”这个词。与“死知识”对应的是“能力”,很多人都觉得“能力”,尤其是“创新能力”更重要,但我觉得不应该割裂的看待二者之间的关系。

要想很好的捋清二者之间的关系,按照数学研究的一般思路,首先要明确这两个概念的具体含义——下定义。事实上,知识也好,能力也罢,都是非常抽象的概念,没有明确的定义。但这又是一个绕不过去的问题,必须要思考,那就硬着头皮瞎扯一通吧:

(1)知识。

数学上的知识,在大部分人的理解中,应该就是那些具体的定义、公式、定理、证明方法、解题技巧等内容了。其特点是,内容上都是具体的,可以准确说明、定性判断、定量计算的。

(2)能力

百度上给出的解释是:“能力是完成一项目标或者任务所体现出来的综合素质”。对比知识,能力最大的特点或许就是抽象的,无法准确说明与定量判断的,只能在完成具体的任务或项目中才能有所体现。可以说,能力不仅在定义上抽象,其内涵与外延也是抽象的。

回到数学上,能力可以换做另外一个词——“数学核心素养”。

至于什么是“数学核心素养”,能力有限,不知道该如何表述,借助史宁中老师在其著作《数学基本思想18讲》中的讲述:数学核心素养,是对基本数学思想的感悟,以及在数学思维活动及实践活动中所感悟的一些经验的积累(类似地,其他学科也都有各自的学科核心素养)。简单总结就是:对数学思想的感悟以及数学活动经验的积累。

除了数学核心素养之外,其他的能力也需要在数学教学中考虑,比如创新能力、写作能力、小组合作能力、讨论对话表达能力、动手操作能力等等。因为教育是一项整全性的活动,不应该孤立的对待

简单明晰了什么是“能力”与“知识”之后,紧接着的下一个问题就是:哪个更重要?我的态度很明确,不应该简单割裂的看待,等于说我把这个问题本身推翻了。

如果非要皮一下,我的回答是:知识与能力,缺啥啥重要

我很赞同马爸爸(认真脸)

2、数学核心素养与能力培养

很多人认为能力更重要,那我们就顺着这个思路,思考下一个问题:更重要的能力如何去获得?除了比较玄乎的,生而知之的上智之人,对于像你我一样的普通人,如何去获得这些重要的能力呢?——把能力的含义、重要意义背个滚瓜烂熟?然后每天再三省吾身?

上课时,也会有学生问我,“老师,我们怎么才能有这些分析问题的能力”,类似的问题还有很多,意思都差不多。对此我会跟学生讨论“技能”与“能力”这两个概念的区别——很多能力,诸如分析总结能力,逻辑思维能力,透过现象看本质能力,创新能力等等,其实是一些比较“抽象”的概念,是无法直接教的。我常跟学生说,这个世界上不存在一门叫做“能力”的课,选择、学习、考试合格,然后具备这项能力,这是不可能的。

那真正核心的能力如何培养呢?答案是:“抽象的能力”需要借助“具体的知识”,即在学习具体知识的过程中,不断思考、反思、总结,最终获得某项能力。并且,这个过程只能由学生自己完成,谁也替代不了,老师的作用只是合适的搭桥、铺路、引导。

史老师在书中也说到:“数学核心素养是一种隐性的东西,需要学生在穿越数学学习过程中,依靠自己的独立思考去获得。但恰恰就是这些隐性的东西,在很大程度上影响人的思维方法”。继而对真正好的数学教育提出了他自己的看法,“一个好的数学教育,应当更多地倾向于培养学生数学思维的习惯:会在错综复杂的事物中把握本质,进而抽象能力强;会在杂乱无章的事物中理清头绪,进而推理能力强;会在千头万绪的事物中发现规律,进而建模能力强。这些,恰恰是数学基本思想的核心”。

从这个角度看,“知识”与“能力”哪个更重要真的是一个伪命题——“知识”与“能力”的关系,不是相互对立,而是相辅相成的。抽象的能力需要在学习具体的知识过程中,不断思考、总结后获得,反过来又会促进更好的学习知识。除非是生而知之的天才,否则怎么可能不学习知识就能获得相应的能力?再或者,一个人说他很有能力,但却不懂得任何知识,这也是不可想象的。如果再把时间与机会成本考虑进入,就更能说明问题了。

在具体教学中,越发体会到基础知识的重要性,不在于做题、考试,而在于学习的延续性。数学具有极强的内在逻辑关系,前后知识的连续性非常紧密,前一部分的基础没落实到位,后续的学习就会非常困难。

不光如此,还有计算与代数推导能力。班里一些学生,不知何种原因,对分数特别抵触,到了初中,无论是解方程,还是计算,只要遇到分数,首先就是排斥,计算经常出错,连带着分式的运算也非常糟糕。情绪的波动,基础不扎实,再加上很容易养成眼高手低的不好习惯,如果真的这样,数学核心素养培养之路必然不顺。

所以,更应该值得我们反思的,是学习知识的正确方式:正确的学习方式,既可以获得知识,也容易获得相应的能力;反之,错误的学习方式,不仅学不到能力,就连学到的知识也是无甚用处的“死知识”

如果把能力比作一把刀,那知识就是磨刀石,只有经过磨刀石的磨砺,才能使刀变得锋利,但若采用错误的磨刀方式,那结果只能是刀越来越钝。

能力背不出来,只能在“实践”过程中逐渐、持续培养,还需要一些说不清道不明的灵性与悟性,老师的作用只是铺路、引导。

同样的一套太祖长拳,在萧峰手里威力巨大,但在一些人手里,就平平无奇。学生能够获得多少能力,主要靠自己,对此,老师要放平心态,着急也没用。但无可置疑的一点是,即便达不到萧大王的水平,也绝对好过不练,不要执念于与他人的比较,放平心态,收获的或许会更多。

思考到这里,我突然开始紧张起来——回顾自己的经历,真的是一介书生,三尺微命,没有显赫的家世,没见过多么大的场面;读研期间没有接触过高端项目,说是科研,真的有些牵强;也没有多少实际的工作经验,不是特别熟悉外面的世界到底是什么样子……

直击灵魂的追问:我自己懂不懂什么是能力?我能不能引导学生采用正确的学习方式去感悟数学基本思想?积累数学经验?可千万别打着培养能力的幌子,把学生带到沟里了。

那该怎么办呢?

(1)永远保持一颗谦逊的心态,绝对不把自己当作真理在握的权威,与学生一共成长;

(2)永远保持一颗学习的心态,认真啃读教育学、认知心理学、哲学、学科本体知识等经典,同时打开自己的视野,与世界交互、对话,不要局限在一间小小的教室内;

(3)永远保持一颗反思的心态,在教学实践过程中,不断反思、总结,没有最好,只有更好。

3、数学历史发生学

“数学核心素养”、“能力”,这些词说起来很容易,但这些概念具体的内涵与外延到底是什么?恐怕就没那么简单了。即便能够说得清楚,又能怎样呢?背的再滚瓜烂熟,也无法内化成为自己大脑中认知图式的一部分。

追根溯源,回到数学是如何产生的,或许可以给我们提供答案。

数学是被我们人类发明、创造出来的,也就是说,我们现在所学的数学,除了一些基本的思想之外,并不是绝对的。最简单的例子,10进制的发明,虽没有明确说法,但与人两双手共10根手指是密切相关的,如果我们人类每只手不是5根手指,而是4个,那么我们熟悉的进制大概率就是8进制了。当然,如果从生物进化角度,能够说明5根手指是最优解,那是另外一回事了。即便如此,也不能说10进制就是绝对的,信息技术中的二进制,时间、角度里的60进制等等就是证明。这点上,数学与物理是不一样的,所以我们会说牛顿发明了微积分,但却是发现了万有引力。

明白了数学是被人类发明、创造出来的,接下来的一系列问题就顺理成章了:人们为什么要发明数学?遇到了什么困难需要解决?古人是如何分析、思考,继而解决这些问题的?解决的方法有多少,彼此之间是否存在联系?各自的优缺点又是什么,各自适合的范围是什么?每种方法背后隐含的核心思想是什么?这些方法是否具有一般性?能否从中总结出更一般的分析方法?这些分析方法对我们解决其他问题有没有启发作用?……整个过程,处处体现了数学这门学科的核心素养。

可见,综合数学知识学习与核心素养培养,其实是有迹可循的,那就是数学历史发生学。沿着数学发生学,知识的来龙去脉可以解释的清清楚楚,背后涉及的基本思想也有了载体,不再以空对空,一路学习下来,学生也更容易感悟数学思想,积累数学经验。

4、个体发生学与历史发生学的同构性

几千年来,人类创造、发明、总结了各种各样的知识,如今的我们则站在前人的基础上继续探索、拓展。知识可以传递、继承、发展,但是却无法通过遗传的方式直接储存于人的大脑之中。每一个呱呱坠地的新生儿,都是一张全新的,充满无数可能性的白纸,需要从头开始,一点点汲取全人类的知识精华。

正是因为如此,对于数学学习,个体发生学与历史发生学存在某种深层次的联系:

(1)远古人类为了计数的需要,从数量中抽象出数字,幼儿园小朋友同样需要面对这个问题;

(2)古人为了丈量土地,需要发明长度、面积等一系列度量,小学生也需要面对;

(3)法国数学家韦达在解决方程问题时,为了更方便地揭示方程解的关系,系统地引入字母表示数,由此人类正式进入代数时代,初中学生也需要面对;

(4)笛卡尔为了精确、系统研究几何图形,发明平面直角坐标系,解析几何由此诞生,现在的初高中学生也需要面对这个问题;

(5)稍后差不多半个世纪的牛顿,站在前人的基础上,为了解决更加复杂的问题发明微积分,考入大学的大学生也需要面对……

我们把这种神奇的联系称为个体发生学与历史发生学的同构性。当然了,二者并不能完全划等号,人类从零开始,发明、创造了如今的数学体系,过程是相当曲折的,甚至很多人为此付出了生命的代价——大的方面有数学史上的三次数学危机,小的方面就更多了,比如人们发明对数,最先时为了计算简便,后来才意识到它是乘方运算的逆运算之一(另一个是开方运算),还有韦达引入代数,最初的目的是为了解决一元二次方程。这些顺序上的“错乱”,在教学过程中肯定要有所调整。

5 浅谈创新能力

社会发展到现在,创新能力的重要性越发凸显,有必要单独领出来说一说。大家都认可创新能力的重要性,可是,什么才是真正的创新呢?创新能力又如何培养呢?

前一个问题。我不认为“改变=创新”,是否真的算创新,要看是否利于解决问题,必须要有社会意义或个人价值。这样理解创新,貌似有些功利,毕竟很多伟大的发现或创新,都是在“无意识、无目的”的“瞎闹”中产生的。但是,我们之所以记住了这些“无目的的瞎闹”,不正是因为它们的结果解决了实际问题吗?而那些没有产生解决问题的“瞎闹”,都被我们忘记了而已。当然了,我并不否认“瞎闹”的意义,毕竟存在无心插柳柳成荫的可能性。我所思考的是,如果说给学生提供自由发挥的空间,不要限制太多,就是在培养创新能力,总觉得怪怪的,难道这就是传说中的无为胜有为?

后一个问题。创新能力无法直接教,强制教的结果搞不好会起到反作用,需要在具体的知识中熏陶。这样的话,还有什么比数学发生学更合适的素材吗?人类几千年来总结的知识精华,每一个都堪称巨大的创新!只不过为了简洁、严谨等原因,高度形式化、抽象化了,以至于逐渐偏离正常人的日常经验,还被起了“死知识”的名字,与“呆板、机械、枯燥”等词汇联系到了一起,简直是对“知识”的天大冤枉!要是“知识”有感情,一定会郁闷坏的。

试想一下,在数学学习过程中,如果能够还原数学发生学中的情境,将问题抛给学生,由学生自由探索、发明、创造,然后课堂上讨论、反思、总结。再将新的问题抛给学生,自由探索、发明创造,然后讨论反思、总结生化……这是一个循序渐进的循环过程,在整个以学生为主,建构式学习的过程中,知识、能力、核心素养等都将得到最大可能的培养。

简单总结一下:个体发生学与历史发生学的同构性,给我们指明了如何学习数学的方向——综合了知识学习与核心素养培养的学习方向。

解决以上问题,要看的书偏向于“学科认识”以及“认知哲学”层面,学科认识容易理解,认知哲学嘛,就是思考为什么而学,什么才是真正的核心素养,数学哲学是什么,科学哲学是什么,这么一大堆问题,站在学科本体的角度看待“为什么教”,以及“教什么”的问题。

至于下面问题,很多都属于教育学,认知心理学的范畴了,也就是“怎么教”的问题。

项目式学习,是一种非常好的学习方式,核心在于设计怎样的项目。就数学来讲,我个人觉得,应该分为两种不同的情况:

1. 以核心观念建构为主的项目式学习:这类学习,最好能够还原原滋原味的数学场景,以发明数学、创造数学为主,属于从0到1的诞生过程,这是一个从生活中抽象出数学的过程。

2. 以跨学科灵活应用为主的项目式学习:这类学习,则是从1到100的跨学科领用应用能力,可提供丰富的环境,比如生活中的数学等,这是一个将数学理论应用到实际生活的过程。

细细比较,二者其实有很大的不同,延伸的话,就涉及到对数学这门学科的认识。很多人认为数学很基础,以后各个学科都能用到,这是把数学当作一门“工具学科”来对待。这是不对的,数学的“基础”不仅仅体现在“应用”层面,更体现在“思维”的基础性,即对数学基本思想的感悟

6、什么是“儿童中心”

答:个体发生学与历史发生学的同构性只是给我们指明了学习方向,并没有解决所有问题。比如在爬山时,我们虽然知道了山顶在哪里,不表示我们能够顺利爬到山顶(爬山方式、时间等各方面)。说白了,前面的讨论,只是站在“知识”的角度看待数学学习,而教育的对象是活生生的人,要想顺利沿着正确的方向抵达终点,还需要转换一下角度:由“知识中心”转向“儿童中心”,简单说,就是基于学生,用符合学生认知发展规律的教育学原理来发展学生。

关于教育学原理,目前自己知道的最重要的几个教育学原理分别如下:

(1)怀特海教育三阶段:浪漫、精确、综合。

(2)皮亚杰的认识发生论:刺激,同化/顺应,平衡,认知图式等——儿童的大脑中不是空空如也,等待老师去灌输的,学生的大脑中,存在已有观念及认知图式,基于儿童,发展儿童。

(3)维果斯基的最近发展区:学生踮踮脚,跳一跳能够到的发展阶段。

每一个原理展开都会涉及太多内容,偷个懒,就不再多说了。

下面尝试对上面说的那些概念做一个总结:

(1)知识与能力是教育的终点。我们希望学生能够灵活掌握数学核心技能,并获得数学核心素养,这是数学教育的终点(要是站在人的整全性的角度看,又是另一回事了);

(2)知识建构是教育的途径。知识是建构得到的,不是背诵得到的,能力在建构过程中,学生自我体会、分析、总结得到,老师不能代替,但可以引导;

(3)儿童中心是教育的起点。各位大神的认知心理学、教育学研究成果。

自己并不爱乱其名字,只是为了梳理不得不找个词,也不知道自己领会的准不准。

7 数学到底应该怎么学?

如果我们希望学生能够灵活掌握数学核心技能,并获得数学核心素养,那么一定要按照合适的方式,从小开始培养。千万不能一边采取南辕北辙的方法,一边过高的期待学生长大后的样子。一路思考下来,真正的数学学习,或许应该是这样子的:

以终为始,明确方向:我们希望学生在数学学科上,既能掌握核心技能,灵活应用,也能具备一定的核心素养,受用终身,那就沿着数学发生学这条道路,以主动建构的方式学习;

采用符合教育学原理的方法:教育的主体是活生生的,完整的人,他们的大脑不是空空如也,等待着老师去灌输,他们有自己的认知基础,只有找准这个基础,教育才能真正产生。

这样的说法虽说有利于从根本上认识数学教育,但有些笼统,换做更具有可操作性的一般步骤是这样子的:

(1)老师首轮备课,梳理一章核心知识的建构过程

千万不要以为会做题就会教学,这点在2年多的教学过程中,体会不能再深了。要关注的重点是,这些知识是如何被发明、创造出来的,以及背后涉及了哪些基本思想,还有可能借此章节渗透、培养的核心素养,最好能够了然于胸,否则怎么去引导学生感悟呢?

这点对于新老师来说,尤其重要。

还是以爬山的比喻为例,这一阶段相当于老师自己前去踩点,把上山的路从头到尾走一遍,摸清哪里的路难走,怎么才能更好走。切记,这个过程是知识建构的过程,绝不是说会做题就可以了。

(2)编制课前挑战单。

将知识的建构过程及相关练习,按照课时进行细分。挑战单的内容要能体现知识的建构过程,以及背后涉及的数学基本思想及方法,同时还要兼顾浪漫、精确、综合,最近发展区等教育学原理。比如最基本的就是由易到难,从特殊到一般,从具象到抽象等。

需要说明的是,问题设置的过细并不一定是最好的,有时候只抛出问题,允许学生天马行空的探索解决办法也是有必要的。至于具体如何取舍,一是看学生的实际情况,思维比较棒的学生,最好开放性更大一些;二是看具体的学习内容,有些问题适合开放性问题,而一些较复杂的问题需要搭合适的台阶;三是同一个问题也可以在不同的阶段出现,最开始的浪漫阶段,可以开放性大一些,后面的精确阶段则要细化。总之,如何兼顾知识建构、核心素养的培养与教育学原理,编制好一份课前挑战单,没有想象中那么简单。

很多时候,需要找学生提前测试,了解这个阶段学生的认知基础以及可能出现的认知冲突。

尝试总结两种比较具体的设置方法:

第一,基础(浪漫)+精确+综合。

这里的基础,可以是前一天学习内容的巩固,也可以是与本节课B级目标(核心目标,A为基础目标,C为拓展目标)相关的基础内容(就是需要用到的基础),还有可能是一前(已经学过)一后(本节课将要学),可以拿来比较/沟通联系(本质是否相同,相同点有不同点等等)的内容。总结来说就是:纵向连续关系——当是复习;横向并列关系——沟通联系,融会贯通;或者没关系——严格来说,这种情况不存在,围绕本节课的核心目标,总可以找到合适的浪漫内容。

这种设置方法,适合一章精确阶段,也就是中间内容。对本章的学习内容有了整体的认识与了解,大体的研究思路已经熟悉,或者探索地图已经清晰。

第二,开放(浪漫)+精确+综合。

对比之下,这种设置方法,适合开始阶段,可以是一章的大浪漫,也可以是中间环节的起始部分,在具体的内容上,还是很容易区分的。

那为什么要这样设置呢?就是给学生提供一个自主探索,发现问题,或者发明创造的机会,这点非常的重要,在这个过程中,可以进一步拓展更多的意义。

摸清了路怎么走之后,把整个爬山过程细分为若干个小阶段。思考每一阶段的重难点与阶段目标。

(3)提前让学生独立完成挑战单。

这样做的目的是为了让学生充分思考,大部分情况下,还是独立思考更好一些,但也不排除适合小组讨论的可能。特别需要注意的是,一定不能看书,查资料,否则就失去探索的意义了。

学生要做到这点,并非易事,这既是一种学习方法,也是一种学习能力——根据已有知识与能力解决未知问题的能力,想象一下以后工作的情形,遇到了问题,可没人给参考书,明白这点,就更能体会这种学习方法的精妙之处。所以,前期需要一个引导学生适应的过程。

学生是学习的主体,先让学生尝试独自爬山,看看学生是否走到岔路上,或者看学生困在了哪里。

(4)二轮备课,发现学生的认知冲突,针对性备课。

(5)以学生为主的对话讨论。

两个环节放在一起讨论。

既然学生已经提前思考过,那么出现的典型认知冲突就是教学痛点了,就着这些问题展开讨论,在你来我往的对话中达成共识。这种做法背后的教育学原理主要是皮亚杰的认识发生论——简单说就是,以空对空的告知效果并不好,知识只有在具体的问题中才能更有效的学习。那为什么要以学生为主讨论呢?因为学习的主体是学生啊,只有主动参与讨论,才能最大限度的思考,效果当然也更好。

需要明白,以学生为主,并不意味着老师不需要参与,老师需要时刻注意讨论的方向,不能偏离;当讨论进行不下去的时候,需要适当的引导;必要时,做一些提炼、总结,特别是一些重要的关键点,一定要清清楚楚的落实到位,千万不能想着全让学生自己感悟

同独立完成挑战单一样,参与对话讨论,既是一种学习方法,更是一种能力——首先是聆听的能力,要能听懂同学的观点;其次是文明对话,不要抬杠,不要说无关的话。给学生一定适应时间,培养对话讨论的能力,也是很有必要的。当然,不排除有些同学不喜欢发言,喜欢静静聆听,如果这样子的话就不要强求。总之,如何引导学生对话,也是一项技术活,不能简简单单一概而论。

(6)随堂练习。

适当的练习,可以检验讨论效果,也能强化落实(补充建构,加个双保险)。

(7)思维脑图与知识导图

学完一章之后,有必要对一章核心观念的建构过程进行一次整体梳理,我们叫制作思维脑图,重点是知识的建构过程,与我们理解的一般意义上的知识导图还是有区别的。

尝试着梳理一下,从能力与知识、过程与结果的角度分析会更清楚一些。

首先,从过程与结果的角度看,思维脑图强调知识的建构过程,重在理解,过程中更能体现出重要的数学基本思想,也更容易培养学生的核心素养;反观知识导图,重在梳理客观知识之间的关系,是对理解之后的客观知识,进行一次更加条理的,有助于记忆的二次整理。

其次,二者之间是相互促进的关系。以建构为主的学习,更容易理解知识,感悟思想,积累经验,也就更容易对知识进行二次整理;反过来,二次整理之后,又会对知识有了新的认识与了解,也更便于建构下一阶段的新知识。

最后,从内容来说,二者并非完全不同,反而很多时候都是相同的。思维脑图有着清晰的路径,而知识导图的内容则可根据需要灵活选择。

打一个比方,数学观念的建构过程,就如同从1颗种子,逐渐长成参天大树的过程,而知识导图的梳理,就是最终大树的样子。

种子能够长成大树的样子,是因为基因中本就存在这样的DNA。但我们的基因中却不存在如何学习的基因,只能靠后天,首先是按照知识产生的本来面目建构式学习,其次有必要做一次完整的二次整理,做好以后就是学霸笔记。

因为对数学基本思想的感悟,对数学思维活动及实践活动的经验的积累,需要在过程中获得,只背结果,或者直接给出结果,再谈所谓的理解,都是不合适的。从这点看,建构式学习及思维脑图的制作,意义重大。

再扯远点,对于大树,即便基因中存在,能否成才,仍然受到环境的巨大影响,人更是如此,老师、学校、教育的意义也正在这里。。

(8)总结性小论文

在学完一章后,如果只是选择章检测的方式,未免有些不全面,因为很多方面,尤其是核心素养与各项能力,很难用一张卷子去考核。所以我们可以将一章的知识建构过程,整理成脑图,再向前一步就是总结性小论文了——系统梳理本章知识的建构过程,同时梳理本章知识与之前学过的其他知识之间的内在联系,或补漏、或巩故,继而知新。要是能够在小论文中总结出本章涉及的一般研究方法及数学基本思想就更好了,核心素养及能力(论文写作能力)就是在这样的磨砺与锻炼中一点点获得的。

最开始写总结性小论文时,老师要帮助列提纲,等学生熟悉了,逐渐具备一定能力,就可以独自完成了。要是觉得写一篇完整的总结性小论文难度过大,那么针对某一部分单独写一篇也是可以的。切记不可以成人的要求对待学生,只要学生敢于尝试,无论写成什么样子,都先要予以肯定与鼓励,其次才是完善与提升。

(9)自主探索与探究性小论文

学完一章后,如果有同学对后续内容非常有兴趣,这个时候,老师就可以顺水推舟,鼓励学生自主探究:用已经掌握的知识与能力,自主探索未来将要学习的新知识。如果能进一步,将探索的过程整理成探究性小论文,就更好了。

当然,不能随便探索,还是要符合学生的最近发展区,适合探索的内容大概要符合以下特点:

第一,研究方法与基本思想相同,部分知识之间存在简单并列关系。

比如学完三角形的证明之后,如果很好的掌握了“定义—性质—判定—其他推论”的一般研究思路,以及公理化思想、演绎推理证明思想及能力后,就可以尝试自主研究平行四边形了。

再比如学完一次函数以后,如果很好的掌握了图形结合的一般研究方法,以及明确函数类型之后就是研究参数对函数性质的影响的思路,就可以独自尝试研究反比例函数或者二次函数了。

这一类的最大特点就是,不同的章节的部分内容,可以看作简单并列关系,当然不是绝对的,所以我用了“部分内容”与“简单并列”(不是我乱发明新词,而是实在不知道如何准确表达了,继续努力充电……)。数学上各知识之间以交叉螺旋递进关系为主,很少存在完全并列的情况,如果非要说的话,长度测量与质量测量可以算一个,但那是小学阶段,不适合独自挑战,不要拔苗助长。

第二,知识之间存在清晰的递进关系。

比如学完整式加减以后,如果学生有兴趣,就可以顺水推舟,探索整式乘除。但如果要细究的话,整式加减与整式乘除看似关系紧密,但复杂程度以及背后的数学思想差别还是挺多的。

整式加减只需要辨析同类项即可,而整式乘除内容要多很多,需要分类讨论,单项式×单项式,单项式×多项式,多项式×多项式。就算单项式×单项式,也包含了幂的乘方、积的乘方,一般多项式的乘方多种情况。

至于涉及的基本思想与研究方法,大概有这些:分类讨论与研究、从特殊到一般的研究方法(先归纳出一般规律,再演绎推理证明)、沟通各类运算之间的关系(乘除互逆等)、整体代换(完全平方公式)等等。

对于探究性小论文,还要多说两点:第一,探究性小论文难度比总结性小论文要大,之所以还要提这点,是因为总会出现能力比较强,对未知领域存在强烈兴趣的学生,对这些学生,不要人为设限,要想办法提供更大的探索平台;第二,挑战内容的选择不要随意,不要贪大求全,要求不要太高,大体上还是要符合知识的建构逻辑以及学生的最近发展区。

8 考核方式与评价体系

首先是考核方式:我们最熟悉的考核方式就是卷面测试了,但我们是知识(核心技能)与能力(核心素养)并重,知识的掌握情况可以通过一张试卷测试,但能力是否具备却不能这样测试,总不能靠概念默写吧。所以,这就需要丰富我们的考核方式,其实总结性小论文与挑战性小论文就是能力测试的一种,奈何难度过大,要求过高,还是不作为主要考核方式的好。

其次是评价标准:一份完整的评价体系应该包括过程性评价、终结性评价。再细分的话,过程性评价还可以包括教师评价,学生自评,学生互评等。前面说的是评价方式,还需要细分为若干方面。我们团队把评价标准分为了三方面:核心观念的建构,核心技能,创新能力与人格发展。

具体的细节……

在我看来,教师是一份非常有意义的工作,是可以为之奋斗一生的事业。但一个人的力量总是有限的,所以还需要一个团队的合力。

细细整理之后,思路确实清晰了很多,但再清晰也只是理论,接下来就要沉浸在具体的教学过程中,不断改进提升自己。

有感于自己2年多以来的变化,心生感慨,感谢团队,感谢自己。

路漫漫其修远兮,吾将上下而求索。

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