彻底理解红黑树(一)之二叉搜索树

彻底理解红黑树(一)之二叉搜索树
彻底理解红黑树(二)之插入
彻底理解红黑树(三)之删除

1. 二叉搜索树的定义

二叉搜索树(Binary Search Tree),(又:二叉查询树,二叉排序树)它或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树: 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉搜索树

通俗地讲,以当前节点为根,其左右子树的特点:左小右大。当前节点为50时,其左子树所有节点均小于50,右子树所有节点均大于50:

50为根的二叉搜索树

节点50的左右子树也同样符合这种特点,以左子树为例(以30为根的树):

30为根的二叉搜索树

同样的,其他的子树、子树的子树等均符合该规律(类似递归)。

2. 查找

根据左小右大的特点,查找一个元素时,从根节点出发:
(1)如果查找的元素比当前节点小,则到左子树找;
(2)如果查找的元素比当前节点大,则到右子树找;
(3)如果查找的元素等于当前节点,说明找到了;
(4)如果直至叶子节点都找不到对应的,说明该元素不存在该树中。

查找
查找35

3. 插入

插入元素时,主要是找到合适的位置进行插入(类似查找):

  1. 插入的树为空树(无节点),直接创建节点即可;
  2. 插入的树非空树:
    2.1 如果插入的元素比当前节点小,则到左子树插入;如果左子树/节点为null,插入该处;
    2.2 如果插入的元素比当前节点大,则到右子树插入;如果右子树/节点为null,插入该处;
    2.3 如果插入的元素和当前节点相等,说明该元素已经存在了,直接返回。
插入
插入50,30,70,60,65

4. 删除

4.1 前继节点和后继节点

二叉搜索树因为自身的特性(左小右大),中序遍历的结果必然是有序的。
比如以下这棵树,其遍历的结果为:【20, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 70, 80】

在二叉搜索树中,前继节点表示比当前节点小的最大值,后继节点表示比当前节点大的最小值,看例子就很容易明白:比如上面【20, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 70, 80】中,节点50的前继节点为45,后继节点为55。

在二叉搜索树中,寻找前后继节点很简单:
(1)寻找前继节点,当前节点左转一下,然后右转一直走到底(右子节点为null时终止):

寻找50的前继节点

(2)寻找后继节点,当前节点右转一下,然后左转一直走到底(左子节点为null时终止):

寻找50的后继节点

4.2 根据子节点数量进行删除处理

删除前首先要找到该节点,如果找不到,直接结束即可。
找到后,可以分为以下三种情景:

  1. 无子节点,即叶子节点,直接删除即可;
  2. 只有一个子节点,用该子节点接到删除节点的父节点即可;
  3. 有两个子节点,使用前或后继节点作为替换节点,对删除节点进行数据替换,然后转移至删除替换节点即可。而此时删除后继节点时,必然是情景1或2了;

看下例子:

情景1 叶子节点
情景2 子节点数量为1
情景3 子节点数量为2

关于情景3,无论使用前继节点还是后继节点,均可以达到同样的目的,选其一即可。

5. 二叉搜索树的问题

极端时,搜索的时间复杂度将会降低到 O(n),比如以下这个例子:

连续插入10,20,30,40,50

而平衡二叉搜索树(AVL树、红黑树等)就是为了解决这个问题:平衡二叉树在进行插入、删除后,会进行自平衡,从而保证其查询的时间复杂度接近于O(log2n)。如红黑树连续插入10,20,30,40,50:

红黑树连续插入10,20,30,40,50

想知道红黑树在插入时怎么做到平衡的?请见下文:彻底理解红黑树(二)之插入

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