0. 符号
1. 初等行变换
初等行变换包含三种运算：
- 调换任意两行
- 某一行乘以一个非零数
- 某一行乘以一个非零数加到另一行上
1.1 调换任意两行
设
表示将单位阵的第
两行互换，即
![\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}=[\boldsymbol{e_1}^T,\cdots,\boldsymbol{e_j}^T,\cdots,\boldsymbol{e_i}^T,\cdots,\boldsymbol{e_n}^T]^T](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bi%5Cleftrightarrow%20j%7D%3D%5B%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be_j%7D%5ET%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5D%5ET)
命题：
的结果，等价于将
的第两行互换。
![\begin{split} \boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}\boldsymbol{A} &=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e_1}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_j}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_i}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_n}^T\end{bmatrix}[\boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_i},\cdots,\boldsymbol{a_j},\cdots,\boldsymbol{a_m}]\\ &=\begin{bmatrix} \boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_1}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_j}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_i}^T\boldsymbol{a_m}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_1}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_i}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_j}&\cdots&\boldsymbol{e_n}^T\boldsymbol{a_m} \end{bmatrix} \end{split}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Bsplit%7D%20%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bi%5Cleftrightarrow%20j%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%26%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%5C%5C%5Cvdots%5C%5C%5Cboldsymbol%7Be_j%7D%5ET%5C%5C%5Cvdots%5C%5C%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%5C%5C%5Cvdots%5C%5C%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5Cend%7Bbmatrix%7D%5B%5Cboldsymbol%7Ba_1%7D%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Ba_i%7D%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Ba_j%7D%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Ba_m%7D%5D%5C%5C%20%26%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_1%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_i%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_j%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_m%7D%5C%5C%20%5Cvdots%26%26%5Cvdots%26%26%5Cvdots%26%26%5Cvdots%5C%5C%20%5Cboldsymbol%7Be_j%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_1%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_j%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_i%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_j%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_j%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_j%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_m%7D%5C%5C%20%5Cvdots%26%26%5Cvdots%26%26%5Cvdots%26%26%5Cvdots%5C%5C%20%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_1%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_i%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_j%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_m%7D%5C%5C%20%5Cvdots%26%26%5Cvdots%26%26%5Cvdots%26%26%5Cvdots%5C%5C%20%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_1%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_i%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_j%7D%26%5Ccdots%26%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5Cboldsymbol%7Ba_m%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cend%7Bsplit%7D)
因为
，于是上面的矩阵是
1.2 某一行乘以一个非零数
设
表示将单位阵的第
行乘以一个非零数
，即
![\boldsymbol{I}_{ki}=[\boldsymbol{e_1}^T,\cdots,k\boldsymbol{e_i}^T,\cdots,\boldsymbol{e_n}^T]^T](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bki%7D%3D%5B%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%2C%5Ccdots%2Ck%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5D%5ET)
命题：
，等价于将\boldsymbol{A}的第行乘以。
![\begin{split} \boldsymbol{I}_{ki}\boldsymbol{A} &=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e_1}^T\\\vdots\\k\boldsymbol{e_i}^T\\\vdots\\\boldsymbol{e_n}^T\end{bmatrix}[\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_m}]\\ &=\left[k^{\mathbf{1}\{ r=i \}}\boldsymbol{e}_r^T\boldsymbol{a}_c\right]_{r,c}\\ &=\left[k^{\mathbf{1}\{ r=i \}}a_{rc}\right]_{r,c} \end{split}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Bsplit%7D%20%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bki%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%26%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%5C%5C%5Cvdots%5C%5Ck%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%5C%5C%5Cvdots%5C%5C%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5Cend%7Bbmatrix%7D%5B%5Cboldsymbol%7Ba_1%7D%2C%5Cboldsymbol%7Ba_2%7D%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Ba_m%7D%5D%5C%5C%20%26%3D%5Cleft%5Bk%5E%7B%5Cmathbf%7B1%7D%5C%7B%20r%3Di%20%5C%7D%7D%5Cboldsymbol%7Be%7D_r%5ET%5Cboldsymbol%7Ba%7D_c%5Cright%5D_%7Br%2Cc%7D%5C%5C%20%26%3D%5Cleft%5Bk%5E%7B%5Cmathbf%7B1%7D%5C%7B%20r%3Di%20%5C%7D%7Da_%7Brc%7D%5Cright%5D_%7Br%2Cc%7D%20%5Cend%7Bsplit%7D)
于是，结果的矩阵可以发现，若
，则结果矩阵是![[a_{rc}]_{r,c}=\boldsymbol{A}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ba_%7Brc%7D%5D_%7Br%2Cc%7D%3D%5Cboldsymbol%7BA%7D)
，而出现，当且仅当
，即第行，于是命题成立。
1.3 某一行乘以一个非零数加到另一行上
设
表示将单位阵的第行乘以一个非零数加到第
行，即
![\boldsymbol{I}_{ki}=[\boldsymbol{e_1}^T,\cdots,\boldsymbol{e_i}^T,\cdots,k\boldsymbol{e_i}^T+\boldsymbol{e_j}^T,\cdots,\boldsymbol{e_n}^T]^T](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bki%7D%3D%5B%5Cboldsymbol%7Be_1%7D%5ET%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%2C%5Ccdots%2Ck%5Cboldsymbol%7Be_i%7D%5ET%2B%5Cboldsymbol%7Be_j%7D%5ET%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be_n%7D%5ET%5D%5ET)
命题：
，等价于的第行乘以一个非零数加到第行。
与上面的证明方法类似，但是结果的第行为![(\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}\boldsymbol{A})_{j,:}=[(k\boldsymbol{e}_i^T+\boldsymbol{e}_j^T)\boldsymbol{a}_1,(k\boldsymbol{e}_i^T+\boldsymbol{e}_j^T)\boldsymbol{a}_2,\cdots,(k\boldsymbol{e}_i^T+\boldsymbol{e}_j^T)\boldsymbol{a}_m]](https://math.jianshu.com/math?formula=(%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bki%5Crightarrow%20j%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D)_%7Bj%2C%3A%7D%3D%5B(k%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%5ET%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_j%5ET)%5Cboldsymbol%7Ba%7D_1%2C(k%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%5ET%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_j%5ET)%5Cboldsymbol%7Ba%7D_2%2C%5Ccdots%2C(k%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%5ET%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_j%5ET)%5Cboldsymbol%7Ba%7D_m%5D)
其中对
，有%5Cboldsymbol%7Ba%7D_c%3Dk%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%5ET%5Cboldsymbol%7Ba%7D_c%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_j%5ET%5Cboldsymbol%7Ba%7D_c%3Dka_%7Bic%7D%2Ba_%7Bjc%7D)
从而![(\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}\boldsymbol{A})_{j,:}=[ka_{i1}+a_{j1},ka_{i2}+a_{j2},\cdots,ka_{im}+a_{jm}]=k\boldsymbol{b}_i+\boldsymbol{b}_j](https://math.jianshu.com/math?formula=(%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bki%5Crightarrow%20j%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D)_%7Bj%2C%3A%7D%3D%5Bka_%7Bi1%7D%2Ba_%7Bj1%7D%2Cka_%7Bi2%7D%2Ba_%7Bj2%7D%2C%5Ccdots%2Cka_%7Bim%7D%2Ba_%7Bjm%7D%5D%3Dk%5Cboldsymbol%7Bb%7D_i%2B%5Cboldsymbol%7Bb%7D_j)
即结果的第行是的第行乘以一个非零数加到第行，其余行与相同。
2. 初等列变换
初等列变换包含三种运算：
- 调换任意两列
- 某一列乘以一个非零数
- 某一列乘以一个非零数加到另一列上
我们先来证明下面三个命题：
-
的转置，就是将
的第列乘以。这是显然的，因为是对称阵，故而它的转置仍然保持不变，而中，位于第行，也位于第列，从而命题成立。
-
的转置，就是将的第列和第列交换（假设
）。因为
于是![\boldsymbol{I}_{i\leftrightarrow j}^T=[\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_j,\cdots,\boldsymbol{e}_i,\cdots,\boldsymbol{e}_n]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bi%5Cleftrightarrow%20j%7D%5ET%3D%5B%5Cboldsymbol%7Be%7D_1%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be%7D_j%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be%7D_n%5D)
显然转置操作没有改变各个列的相对位置，的第列和第列交换了。
-
的转置，就是将的第列乘以再加到第列上去。因为
于是![\boldsymbol{I}_{ki\rightarrow j}^T=[\boldsymbol{e}_1,\cdots,k\boldsymbol{e}_i+\boldsymbol{e}_j,\cdots,\boldsymbol{e}_n]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bki%5Crightarrow%20j%7D%5ET%3D%5B%5Cboldsymbol%7Be%7D_1%2C%5Ccdots%2Ck%5Cboldsymbol%7Be%7D_i%2B%5Cboldsymbol%7Be%7D_j%2C%5Ccdots%2C%5Cboldsymbol%7Be%7D_n%5D)
综上，我们仍记表示的第列乘以非零数的结果，它等于
；记
表示的第列乘以非零数加到第列的结果，它同样等于
；记
表示的第列和第列互相交换的结果，它等于
。
2.1 调换任意两列
命题：
的结果，等价于将的第两列互换。
因为
%5ET%5C%5C%20%26%3D%5Cleft(%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bi%5Cleftrightarrow%20j%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D%5ET%5Cright)%5ET%20%5Cend%7Bsplit%7D)
因为对的转置的第行互换，这就等于把的第列互换，所以命题成立。
2.2 某一列乘以一个非零数
命题：
的结果，等价于将的第列乘以。
因为
%5ET%5C%5C%20%26%3D%5Cleft(%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7Bki%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D%5ET%5Cright)%5ET%20%5Cend%7Bsplit%7D)
因为对的转置的第行乘以，这就等于给的第列乘以，所以命题成立。
2.3 某一列乘以一个非零数加到另一列上
命题：
的结果，等价于将的第列乘以再加到第列上。
因为
%5ET%5C%5C%20%26%3D%5Cleft(%20%5Cboldsymbol%7BI%7D_%7B%20ki%20%5Crightarrow%20j%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D%5ET%5Cright)%5ET%20%5Cend%7Bsplit%7D)
因为把的转置的第行乘以再加到第行，就等于把的转置的第列乘以再加到第列上。
3. 初等变换保秩
命题：对任意矩阵进行初等行/列变换，矩阵的秩不变。
设任意矩阵，对其初等行变换对应于左乘
中的一个，同样对其初等列变换对应于右乘
中的某一个，于是经过有限次初等变换得到矩阵
，表示为%5Cboldsymbol%7BA%7D(%5Cboldsymbol%7BE%7D_%7Bc_1%7D%5Ccdots%5Cboldsymbol%7BE%7D_%7Bc_m%7D))
其中
。
，按列分块以及按行分块是
是第
，其余为
的向量：
的单位阵可以表示为
