Java 与图

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beanlam
2017.06.07 16:13* 字数 2488

图的基本概念

图是什么,图是一种数据结构,一种非线性结构,所谓的非线性结构,浅显地理解的话,就是图的存储不是像链表这样的线性存储结构,而是由两个集合所组成的一种数据结构。

一个图中有两类东西,一种是结点,一种结点之间的连线。要用一种数据结构来表示的话,首先我们需要一个集合来存储所有的点,我们用V这个集合来表示(vertex),还需要另一个集合来存储所有的边,我们用E来表示(Edge),那么一个图就可以表示为:

G = (V,E)

有的图的边是有方向的,有的是没有方向的。

(A,B)表示A结点与B结点之间无方向的边,<A,B>则表示方向为从A到B的一条边,当然,如果是<B,A>,则方向相反。因此从边的方向我们就可以把图分为有向图无向图两种。

其它概念

一个图中的元素有很多,例如:

完全图,邻接节点,结点的度,路径,权,路径长度,子图,连通图和强连通图,生成树,简单路径和回路...

本文只说说容易混淆的概念,以后再慢慢写。

完全图,连通图,与强连通图

完全图可分为有向完全图和无向完全图两种,如果一个图的任意两个结点之间有且只有一条边,则称此图为无向完全图,若任意两个结点之间有且只有方向相反的两条边,则称为有向完全图。

那么连通图与完全图有什么区别呢?连通图是指在无向图中,若图中任意一对结点之间都有路径可达,则称这个无向图是连通图,而强连通图则是对应于有向图来说的,其特点与连通图是一样的。只不过是有向的,所以加了"强"。

连通图与完全图的区别就是,完全图要求任意两点之间有边,而连通图则是要求有路径。边和路径是有区别的。

邻接结点

一个结点的邻接节点,对于无向图来说,就是与这个结点相连的结点,至少有一个。

对于有向图来说,由于边是有方向的,所以一个结点的邻接节点是指以这个结点为开头,所指向的那些结点。

结点的度

度是针对结点来说的, 又分为出度和入度,看到“出度入度”,我们不难想到这是与边和边的方向有关的。
对于无向图来说,没有出度入度之分,一个结点的度就是经过这个结点的边的数目(或者是与这个结点相关联的边的数目),对于有向图来说,出度就是指以这个结点为起始的边的条数(箭头向外),入度则是以这个点为终点的边的条数(箭头向内)。

出 = 箭头向外,入 = 箭头向内

权是指一条边所附带的数据信息,比如说一个结点到另一个结点的距离,或者花费的时间等等都可以用权来表示。带权的图也称为网格或网。

子图

跟一个集合有子集一样,图也有子图。可以类比理解。

存储结构

要存储一个图,我们知道图既有结点,又有边,对于有权图来说,每条边上还带有权值。常用的图的存储结构主要有以下二种:

  • 邻接矩阵
  • 邻接表

邻接矩阵

我们知道,要表示结点,我们可以用一个一维数组来表示,然而对于结点和结点之间的关系,则无法简单地用一维数组来表示了,我们可以用二维数组来表示,也就是一个矩阵形式的表示方法。

我们假设A是这个二维数组,那么A中的一个元素aij不仅体现出了结点vi和结点vj的关系,而且aij的值正可以表示权值的大小。

以下是一个无向图的邻接矩阵表示示例:

从上图我们可以看到,无向图的邻接矩阵是对称矩阵,也一定是对称矩阵。且其左上角到右下角的对角线上值为零(对角线上表示的是相同的结点)

有向图的邻接矩阵是怎样的呢?

邻接表

我们知道,图的邻接矩阵存储方法用的是一个n*n的矩阵,当这个矩阵是稠密的矩阵(比如说当图是完全图的时候),那么当然选择用邻接矩阵存储方法。
可是如果这个矩阵是一个稀疏的矩阵呢,这个时候邻接表存储结构就是一种更节省空间的存储结构了。
对于上文中的无向图,我们可以用邻接表来表示,如下:

每一个结点后面所接的结点都是它的邻接结点。

邻接矩阵与邻接表的比较

当图中结点数目较小且边较多时,采用邻接矩阵效率更高。
当节点数目远大且边的数目远小于相同结点的完全图的边数时,采用邻接表存储结构更有效率。

邻接矩阵的Java实现

邻接矩阵模型类

邻接矩阵模型类的类名为AMWGraph.java,能够通过该类构造一个邻接矩阵表示的图,且提供插入结点,插入边,取得某一结点的第一个邻接结点和下一个邻接结点。


import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
/**
 * @description 邻接矩阵模型类
 * @author beanlam
 * @time 2015.4.17 
 */
public class AMWGraph {
    private ArrayList vertexList;//存储点的链表
    private int[][] edges;//邻接矩阵,用来存储边
    private int numOfEdges;//边的数目
    
    public AMWGraph(int n) {
        //初始化矩阵,一维数组,和边的数目
        edges=new int[n][n];
        vertexList=new ArrayList(n);
        numOfEdges=0;
    }
    
    //得到结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }
    
    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }
    
    //返回结点i的数据
    public Object getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }
    
    //返回v1,v2的权值
    public int getWeight(int v1,int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }
    
    //插入结点
    public void insertVertex(Object vertex) {
        vertexList.add(vertexList.size(),vertex);
    }
    
    //插入结点
    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {
        edges[v1][v2]=weight;
        numOfEdges++;
    }
    
    //删除结点
    public void deleteEdge(int v1,int v2) {
        edges[v1][v2]=0;
        numOfEdges--;
    }
    
    //得到第一个邻接结点的下标
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for(int j=0;j<vertexList.size();j++) {
            if (edges[index][j]>0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }
    
    //根据前一个邻接结点的下标来取得下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {
        for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++) {
            if (edges[v1][j]>0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }
}

邻接矩阵模型类的测试

接下来根据下面一个有向图来设置测试该模型类


TestAMWGraph.java测试程序如下所示:


/**
 * @description AMWGraph类的测试类
 * @author beanlam
 * @time 2015.4.17
 */
public class TestAMWGraph {
    public static void main(String args[]) {
        int n=4,e=4;//分别代表结点个数和边的数目
        String labels[]={"V1","V1","V3","V4"};//结点的标识
        AMWGraph graph=new AMWGraph(n);
        for(String label:labels) {
            graph.insertVertex(label);//插入结点
        }
        //插入四条边
        graph.insertEdge(0, 1, 2);
        graph.insertEdge(0, 2, 5);
        graph.insertEdge(2, 3, 8);
        graph.insertEdge(3, 0, 7);
        
        System.out.println("结点个数是:"+graph.getNumOfVertex());
        System.out.println("边的个数是:"+graph.getNumOfEdges());
        
        graph.deleteEdge(0, 1);//删除<V1,V2>边
        System.out.println("删除<V1,V2>边后...");
        System.out.println("结点个数是:"+graph.getNumOfVertex());
        System.out.println("边的个数是:"+graph.getNumOfEdges());
    }
}

控制台输出结果如下图所示:

遍历

图的遍历,所谓遍历,即是对结点的访问。一个图有那么多个结点,如何遍历这些结点,需要特定策略,一般有两种访问策略:

  • 深度优先遍历
  • 广度优先遍历

深度优先

深度优先遍历,从初始访问结点出发,我们知道初始访问结点可能有多个邻接结点,深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点。总结起来可以这样说:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

我们从这里可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

具体算法表述如下:

  1. 访问初始结点v,并标记结点v为已访问。
  2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
  3. 若w存在,则继续执行4,否则算法结束。
  4. 若w未被访问,对w进行深度优先遍历递归(即把w当做另一个v,然后进行步骤123)。
  5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点,转到步骤3。

例如下图,其深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7

广度优先

类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。

具体算法表述如下:

  1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
  2. 结点v入队列
  3. 当队列非空时,继续执行,否则算法结束。
  4. 出队列,取得队头结点u。
  5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
  6. 若结点u的邻接结点w不存在,则转到步骤3;否则循环执行以下三个步骤:
    1). 若结点w尚未被访问,则访问结点w并标记为已访问。
    2). 结点w入队列
    3). 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w,转到步骤6。

如下图,其广度优先算法的遍历顺序为:1->2->3->4->5->6->7->8

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Java实现

上文中已经给出了邻接矩阵图模型类 AMWGraph.java,在原先类的基础上增加了两个遍历的函数,分别是 depthFirstSearch()broadFirstSearch() 分别代表深度优先和广度优先遍历。

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
/**
 * @description 邻接矩阵模型类
 * @author beanlam
 * @time 2015.4.17 
 */
public class AMWGraph {
    private ArrayList vertexList;//存储点的链表
    private int[][] edges;//邻接矩阵,用来存储边
    private int numOfEdges;//边的数目

    public AMWGraph(int n) {
        //初始化矩阵,一维数组,和边的数目
        edges=new int[n][n];
        vertexList=new ArrayList(n);
        numOfEdges=0;
    }

    //得到结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i的数据
    public Object getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1,v2的权值
    public int getWeight(int v1,int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入结点
    public void insertVertex(Object vertex) {
        vertexList.add(vertexList.size(),vertex);
    }

    //插入结点
    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {
        edges[v1][v2]=weight;
        numOfEdges++;
    }

    //删除结点
    public void deleteEdge(int v1,int v2) {
        edges[v1][v2]=0;
        numOfEdges--;
    }

    //得到第一个邻接结点的下标
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for(int j=0;j<vertexList.size();j++) {
            if (edges[index][j]>0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //根据前一个邻接结点的下标来取得下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {
        for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++) {
            if (edges[v1][j]>0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }
    
    //私有函数,深度优先遍历
    private void depthFirstSearch(boolean[] isVisited,int  i) {
        //首先访问该结点,在控制台打印出来
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"  ");
        //置该结点为已访问
        isVisited[i]=true;
        
        int w=getFirstNeighbor(i);//
        while (w!=-1) {
            if (!isVisited[w]) {
                depthFirstSearch(isVisited,w);
            }
            w=getNextNeighbor(i, w);
        }
    }
    
    //对外公开函数,深度优先遍历,与其同名私有函数属于方法重载
    public void depthFirstSearch() {
        for(int i=0;i<getNumOfVertex();i++) {
            //因为对于非连通图来说,并不是通过一个结点就一定可以遍历所有结点的。
            if (!isVisited[i]) {
                depthFirstSearch(isVisited,i);
            }
        }
    }
    
    //私有函数,广度优先遍历
    private void broadFirstSearch(boolean[] isVisited,int i) {
        int u,w;
        LinkedList queue=new LinkedList();
        
        //访问结点i
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"  ");
        isVisited[i]=true;
        //结点入队列
        queue.addlast(i);
        while (!queue.isEmpty()) {
            u=((Integer)queue.removeFirst()).intValue();
            w=getFirstNeighbor(u);
            while(w!=-1) {
                if(!isVisited[w]) {
                        //访问该结点
                        System.out.print(getValueByIndex(w)+"  ");
                        //标记已被访问
                        isVisited[w]=true;
                        //入队列
                        queue.addLast(w);
                }
                //寻找下一个邻接结点
                w=getNextNeighbor(u, w);
            }
        }
    }
    
    //对外公开函数,广度优先遍历
    public void broadFirstSearch() {
        for(int i=0;i<getNumOfVertex();i++) {
            if(!isVisited[i]) {
                broadFirstSearch(isVisited, i);
            }
        }
    }
}

上面的public声明的depthFirstSearch()和broadFirstSearch()函数,是为了应对当该图是非连通图的情况,如果是非连通图,那么只通过一个结点是无法完全遍历所有结点的。

下面根据上面用来举例的图来构造测试类:

public class TestSearch {

    public static void main(String args[]) {
        int n=8,e=9;//分别代表结点个数和边的数目
        String labels[]={"1","2","3","4","5","6","7","8"};//结点的标识
        AMWGraph graph=new AMWGraph(n);
        for(String label:labels) {
            graph.insertVertex(label);//插入结点
        }
        //插入九条边
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);
        graph.insertEdge(1, 0, 1);
        graph.insertEdge(2, 0, 1);
        graph.insertEdge(3, 1, 1);
        graph.insertEdge(4, 1, 1);
        graph.insertEdge(7, 3, 1);
        graph.insertEdge(7, 4, 1);
        graph.insertEdge(6, 2, 1);
        graph.insertEdge(5, 2, 1);
        graph.insertEdge(6, 5, 1);
        
        System.out.println("深度优先搜索序列为:");
        graph.depthFirstSearch();
        System.out.println();
        System.out.println("广度优先搜索序列为:");
        graph.broadFirstSearch();
    }
}

运行后控制台输出如下:

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