2018考研数学高等数学基础

任务:

(1)熟记基本概念、定理、公式(怎么用到题目中去,方法)

(2)掌握基本方法和技术(一些特殊性)

(3)培养基本计算能力(不要眼高手低)

        ①极限计算 ②求导 ③求积分

目标:

(1)建立基础知识结构

(2)形成基础数学素养

第一讲 极限

核心考点:

(1)定义(6×4+1=25个 4′)

(2)性质 (3个 4′ )

(3)计算(4′+10′ 函数极限、数列极限)

(4)应用(4′ 连续与间断)

一、极限定义(6×4+1=25)熟记于心

1.函数极限

2.数列极限(n为自然数,n趋于无穷专指正无穷,而略去“+”不写)

[例题]会写定义;会作递推不等式

二、极限性质(3大)

1.唯一性[证(反证)]

[例题]考点:左右有别

2.局部有界性[证(用到中学不等式)]

[例题]讨论函数在区间I上的有界性,两个方法:①连续函数在该区间必有界;②若为开区间,则用三段论

3.局部保号性[证]

对极限的真正理解:即使你给我整个世界,我也只在A的身边

图片发自简书App

三、极限计算  4′+10′ (压轴)

1.函数极限计算

①七种未定式

[注]0不是0、1不是1

②计算工具

(1)洛必达法则(三个条件)

[注1]能不能用,用了再说;若不存在,另谋他法

[注2]常见等价无穷小(7个一次、2个二次、4个三次、1个四次)

[注]化简方式:

①等价无穷小替换

②及时提出极限不为0的因式

③恒等变形(有理化、提公因式、加减乘除)

第一组(0/0,∞/∞,∞×0)

[例1]化简先行  “见根号-根号,想有理化”

[例2]分子上指数函数相减  ex-ex,提出分子后边的因式

[例3]0×∞ 化为∞/∞或0/0注意分母选择

设置分母有原则,简单因式才下放

[注]下图中等价无穷小常用

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第二组(∞-∞)

①有分母,则通分

[注]熟记各种三角公式

②没有分母,创造分母,再通分

[注]牢记:令x=1/t 倒代换

第三组(∞0,00,1∞)

幂指函数,底和指数都是函数

此类问题的求解方法:化为e为底的幂指函数

(2)泰勒公式(考研的等价替换只考到了3次方)

[注]下图为常见泰勒公式

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[例1]见到A/B型,用“上下同阶”展开原则

[例2]见到A-B型,用“幂次最低”展开原则

[例3]下图为抽象函数求极限方法

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2.数列极限计算

(1)若Xn易于连续化,转化为函数极限计算即可[依据](连续变量和自然数)

[例]记x为连续变量

(2)若{Xn}不易于连续化,用“夹逼准则”(或定积分定义)(重点,区分学生)

[例1]只动分母,不动分子

[注]夹逼准则不验证等号

[例2]n充分大时,利用函数“天生的有界性”

(3)若{Xn}由递推式Xn=f(Xn-1)给出,用“单调有界准则”  (难 区分度高  10′)

考查点:

①单调性的证明(前后项相减或相除)

②有界性(上界还是下界,通过题目探索,是放缩问题)

[例]先探索前几项,找规律+第一数学归纳法

四、应用——连续与间断

1.基本常识

任何初等函数在其定义区间内都是连续的,故考研中只研究两类特殊的点:

①分段函数的分段点(可能间断)

②无定义点(必然间断)

2.连续的定义

[注]三者相等,才连续

3.间断的定义

前提:f(x)在x=x0点的某去心邻域有定义

跳跃——只和极限值有关,与函数值无关

面积不因这一点而改变

[注]

①注意前提:单侧定义不讨论间断性

②若出现左侧震荡间断,右侧无穷间断,分侧讨论

[例]分段函数在分段点连续,求参数值

送分题10%  中等题80%  送命题10%

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